-x^2+10x-16>0

Задача: -x^2 + 10x - 16 > 0

Пошаговое решение:

1. Перепишем неравенство так, чтобы у нас было положительное квадратное выражение слева: -x^2 + 10x - 16 > 0 умножим на -1 и поменяем знак неравенства: x^2 - 10x + 16 < 0.

2. Раскроем квадратный треугольник (факторизация): x^2 - 10x + 16 = (x - 2)(x - 8). Значит неравенство стало: (x - 2)(x - 8) < 0.

3. Найдем знаки произведения. Препятствия по оси:

   • 왼 intervalы: (-∞, 2), (2, 8), (8, ∞).
   • В интервале (2, 8) произведение двух разных множителей имеет отрицательный знак, а за пределами — положительный. Следовательно, (x - 2)(x - 8) < 0 выполняется для 2 < x < 8.

4. Проверка ограничений: При x = 2 или x = 8 выражение равно 0, а условие требует строго > 0, поэтому границы не включаются: ответ — 2 < x < 8.

Дополнительные способы увидеть это:

• Completing the square: x^2 - 10x + 16 = (x - 5)^2 - 9, значит (x^2 - 10x + 16) < 0 эквивалентно (x - 5)^2 < 9, что даёт -3 < x - 5 < 3 ⇒ 2 < x < 8.

• Графически: парабола y = -x^2 + 10x - 16 открыта вниз, корни в x = 2 и x = 8, область, где y > 0, лежит между корнями.

Окончательный ответ: x ∈ (2, 8).