Реши

Ниже подробные шаги решения для каждой задачи.

1. sqrt(21 · 65 · 39 · 35)

• Разложим каждое число на простые множители: 21 = 3 · 7, 65 = 5 · 13, 39 = 3 · 13, 35 = 5 · 7.
• Произведение становится (3·7)(5·13)(3·13)(5·7) = (3·3)(5·5)(7·7)(13·13).
• Вытаскиваем корни: sqrt(3^2 · 5^2 · 7^2 · 13^2) = 3 · 5 · 7 · 13 = 1365. Ответ: 1365.

2. sqrt(2b · 3a · 8a · 12b)

• Перепишем: (2 · 3 · 8 · 12) · (a^2) · (b^2) = 576 · a^2 · b^2.
• Корень: sqrt(576 · a^2 · b^2) = sqrt(576) · sqrt(a^2) · sqrt(b^2) = 24 · |a| · |b|.
• При условии a ≥ 0 и b ≥ 0 получаем 24ab. Ответ: 24|ab|; если a и b неотрицательные, то 24ab.

3. sqrt(10 + 2 sqrt(21))

• Пусть sqrt(10 + 2√21) = √x + √y. Тогда x + y = 10 и 2√(xy) = 2√21, значит xy = 21.
• Решим систему: x + y = 10, xy = 21 → x, y = 7 и 3.
• Значит sqrt(10 + 2√21) = √7 + √3. Ответ: √7 + √3.

4. sqrt(8 + 2√7) − sqrt(8 − 2√7)

• Обозначим A = sqrt(8 + 2√7), B = sqrt(8 − 2√7). Тогда: A^2 = 8 + 2√7, B^2 = 8 − 2√7, AB = sqrt((8+2√7)(8−2√7)) = sqrt(64 − 28) = sqrt(36) = 6.
• Рассчитаем (A − B)^2 = A^2 + B^2 − 2AB = (8+2√7) + (8−2√7) − 2·6 = 16 − 12 = 4.
• Следовательно A − B = √4 = 2 (поскольку A > B, разность положительная). Ответ: 2.

5. sqrt(y^2 − 10y + 25) + sqrt(y^2 − 14y + 49) при y ≥ 7

• Преобразуем квадраты: y^2 − 10y + 25 = (y − 5)^2,
  y^2 − 14y + 49 = (y − 7)^2.
• Тогда выражение равно sqrt((y−5)^2) + sqrt((y−7)^2) = |y−5| + |y−7|.
• Для y ≥ 7 имеем y−5 ≥ 0 и y−7 ≥ 0, поэтому |y−5| = y−5, |y−7| = y−7.
• Сумма: (y−5) + (y−7) = 2y − 12. Ответ: 2y − 12 (при условии y ≥ 7).