x³+4x²-6x+1 и 3x-2x²-9

Вот подробное разбор по наиболее распространённой задаче для таких выражений (разложение на множители и общая справка). Если нужна другая операция, скажи, и я сделаю отдельно.

1. Разложение x^3 + 4x^2 - 6x + 1 на множители

• Проверяем рациональные корни: возможны ±1.
• Подстановка x = 1: 1 + 4 - 6 + 1 = 0, значит (x - 1) является множителем.
• Делим полином на (x - 1) (методом синтетического деления): Коэффициенты: 1, 4, -6, 1 Применяем деление на 1: – Снижаем 1 → 1 – 1·1 = 1; 4 + 1 = 5 – 5·1 = 5; -6 + 5 = -1 – (-1)·1 = -1; 1 + (-1) = 0 Получаем частное x^2 + 5x - 1.
• Итого: x^3 + 4x^2 - 6x + 1 = (x - 1)(x^2 + 5x - 1).
• Дискриминант квадратичного множителя D = 25 + 4 = 29. Корни квадратичного множителя: (-5 ± √29)/2. Следовательно над рациональными множителями разложения дальше не идём: полностью над множествами рациональных чисел это (x - 1)(x^2 + 5x - 1).

2. Разложение 3x - 2x^2 - 9

• Перепишем в стандартном порядке: -2x^2 + 3x - 9.
• Выносим общий множитель -1: -(2x^2 - 3x + 9).
• Квадратное в скобках: 2x^2 - 3x + 9. Его дискриминант D = (-3)^2 - 4·2·9 = 9 - 72 = -63 < 0.
• Значит этот квадратник не имеет рациональных и даже вещественных корней, следовательно несократим над множеством действительных коэффициентов. Это и есть факторизация над реальными числами: -(2x^2 - 3x + 9).
• Если нужно факторизовать над комплексными числами, можно выписать корни и разложить на линейные множители, но в задачах из средней школы обычно хватает указанной формы: -(2x^2 - 3x + 9).

3. Кратко про взаимную неприводимость (помощь для задачи на НОД/общий множитель)

• Говорят, что две многочлена с целыми коэффициентами взаимно просты, если их наибольший общий делитель равен 1 (до константы).
• Здесь P(x) = x^3 + 4x^2 - 6x + 1 и Q(x) = -2x^2 + 3x - 9.
• Один из способов проверить: Q(1) = -2 + 3 - 9 = -8 ≠ 0, значит x - 1 не общий множитель. В большинстве задач ГДЗ такие два полиномя не имеют другого общего множителя, поэтому gcd(P, Q) = 1 (до константы).
• Если нужно, могу привести явное разложение по алгоритму Евклида и показать остаток на каждом шаге.

Если хочешь, могу продолжить и:

• найти сумму или произведение этих двух полиномов;
• сделать деление одного полинома на другой;
• найти наибольший общий делитель (НОД) точно с алгебраическим обоснованием;
• или решить какой-то конкретный запрос по этим выражениям. Сообщи, что именно нужно.