производная функция у=(х^3+1) √х

Задача: найти производную y = (x^3 + 1) √x.

Пошаговое решение (для средней школы, с пояснениями):

• Пусть f(x) = x^3 + 1 и g(x) = √x = x^(1/2). Тогда y = f(x) · g(x).
• Применяем правило произведения: y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).
• Найдём производные:
  • f'(x) = (x^3 + 1)' = 3x^2
  • g'(x) = (x^(1/2))' = (1/2) x^(-1/2) = 1/(2√x)
• Подставляем: y' = 3x^2 · √x + (x^3 + 1) · (1/(2√x)).

Упрощение:

• 3x^2 · √x = (3x^3)/√x, а второй член — (x^3 + 1)/(2√x).
• Приведём к общему знаменателю 2√x: y' = (6x^3)/(2√x) + (x^3 + 1)/(2√x) = (6x^3 + x^3 + 1)/(2√x) = (7x^3 + 1)/(2√x).

Итого:

• Производная: y' = (7x^3 + 1) / (2√x)
• Альтернативно: y' = 3x^2√x + (x^3 + 1)/(2√x)

Пояснение по области определения:

• Исходная функция определена для x ≥ 0 (√x в реальном числе). Производная существует только для x > 0 (при x = 0 производная не существует, так как в знаменателе стоит √x).

Пример проверки (наглядная проверка):

• Пусть x = 1: y = (1+1)√1 = 2. Производная по формуле: y'(1) = (7·1^3 + 1)/(2√1) = 8/2 = 4. Это согласуется с ожидаемым изменением near x = 1.