(√6×√40)×√90

Задача: (√6 × √40) × √90

Цель: понять и побежать по шагам.

Пошаговое решение (два эквивалентных подхода)

Подход 1: объединение радикалов

1. Используем свойство √a × √b = √(a·b) для неотрицательных a, b. √6 × √40 = √(6·40) = √240
2. Далее умножаем на √90: √240 × √90 = √(240·90) = √21600
3. Упрощаем квадратный корень: 21600 = 216 × 100, поэтому √21600 = √216 × √100 = (√216) × 10
4. Упростим √216: 216 = 36 × 6, значит √216 = √36 × √6 = 6√6
5. Итог: √21600 = 10 × 6√6 = 60√6

Подход 2: разложение и факторизация

1. Распишем каждое корневое выражение: √6 = √(2·3), √40 = √(4·10) = 2√10, √90 = √(9·10) = 3√10
2. Перемножим первую пару: √6 × √40 = √(2·3) × 2√10 = 2√(2·3·10) = 2√60
3. Упростим √60: √60 = √(4·15) = 2√15, значит 2√60 = 2·2√15 = 4√15
4. Теперь умножаем на √90: 4√15 × 3√10 = 12√(15·10) = 12√150
5. Упростим √150: 150 = 25×6, so √150 = √(25×6) = 5√6
6. Итог: 12 × 5√6 = 60√6

Ответ: 60√6

Краткое числовое подтверждение (проверка приближениями)

• √6 ≈ 2.449, √40 ≈ 6.3249, √90 ≈ 9.4868
• (√6 × √40) × √90 ≈ (2.449 × 6.3249) × 9.4868 ≈ 15.492 × 9.4868 ≈ 146.96
• 60√6 ≈ 60 × 2.449 ≈ 146.94 Разница из-за округлений минимальна, оба варианта совпадают.

Если нужно, могу показать аналогичные разложения для других примеров.