1/1+i

Задача: найти 1/(1+i), где i — мнимая единица (i^2 = -1).

Пошаговое решение и объяснение

• Шаг 0. Примем обозначения. i — мнимая единица, поэтому i^2 = -1.

• Шаг 1. Рационализируем знаменатель. Чтобы избавиться от мнимой части в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к (1+i), которым является (1−i).

  1/(1+i) = (1/(1+i)) * ((1−i)/(1−i)) = (1−i)/((1+i)(1−i))

• Шаг 2. Перепишем знаменатель. Раскроем скобки: (1+i)(1−i) = 1 − i^2 = 1 − (-1) = 2.

• Шаг 3. Получим знаменатель и числитель. Составляющие: числитель = 1 − i, знаменатель = 2.

• Шаг 4. Итог. 1/(1+i) = (1 − i)/2 = 1/2 − (1/2)i.

• Шаг 5. Проверка (по желанию). Чтобы проверить, можно перемножить обратно: (1+i)(1/2 − i/2) = 1/2 − i/2 + i/2 − i^2/2 = 1/2 + 0 + 1/2 = 1. Значит, ответ верный.

Дополнительная заметка (для школьной практики): общий способ для дроби вида 1/(a+bi) — это 1/(a+bi) = (a−bi) / (a^2 + b^2). Здесь a=1, b=1, даёт (1−i)/(1^2+1^2) = (1−i)/2, что совпадает с полученным результатом.