(2х+1/3)⁷-(3х-4/7)³

Цель: Понять, как разложить по степеням и получить итоговое выражение.

Задача: (2x + 1/3)^7 - (3x - 4/7)^3

Шаг 1. Раскроем каждую скобку по биномиальной формуле (a + b)^n = sum_{k=0}^n C(n, k) a^{n-k} b^k.

• Для A = 2x и B = 1/3, n = 7: (2x + 1/3)^7 = ∑_{k=0}^7 C(7, k) (2x)^{7-k} (1/3)^k

  Вычислим по шагам:

  • k = 0: C(7,0) (2x)^7 = 1 · 128 x^7 = 128 x^7
  • k = 1: C(7,1) (2x)^6 (1/3) = 7 · 64 x^6 · (1/3) = 448/3 x^6
  • k = 2: C(7,2) (2x)^5 (1/3)^2 = 21 · 32 x^5 · (1/9) = 672/9 x^5 = 224/3 x^5
  • k = 3: C(7,3) (2x)^4 (1/3)^3 = 35 · 16 x^4 · (1/27) = 560/27 x^4
  • k = 4: C(7,4) (2x)^3 (1/3)^4 = 35 · 8 x^3 · (1/81) = 280/81 x^3
  • k = 5: C(7,5) (2x)^2 (1/3)^5 = 21 · 4 x^2 · (1/243) = 84/243 x^2 = 28/81 x^2
  • k = 6: C(7,6) (2x)^1 (1/3)^6 = 7 · 2 x · (1/729) = 14/729 x
  • k = 7: C(7,7) (1/3)^7 = 1 · (1/2187) = 1/2187

  Значит: (2x + 1/3)^7 = 128 x^7 + (448/3) x^6 + (224/3) x^5 + (560/27) x^4 + (280/81) x^3 + (28/81) x^2 + (14/729) x + 1/2187

• Для B = 3x и C = -4/7, n = 3: (3x - 4/7)^3 = ∑_{k=0}^3 C(3, k) (3x)^{3-k} (-4/7)^k

  Вычислим:

  • k = 0: C(3,0) (3x)^3 = 1 · 27 x^3 = 27 x^3
  • k = 1: C(3,1) (3x)^2 (-4/7) = 3 · 9 x^2 · (-4/7) = -108/7 x^2
  • k = 2: C(3,2) (3x)^1 (-4/7)^2 = 3 · 3x · (16/49) = 144/49 x
  • k = 3: C(3,3) ( -4/7)^3 = -64/343

  Значит: (3x - 4/7)^3 = 27 x^3 - (108/7) x^2 + (144/49) x - 64/343

Шаг 2. Вычтем второе выражение из первого: (2x + 1/3)^7 - (3x - 4/7)^3 =

• x^7: 128 x^7
• x^6: 448/3 x^6
• x^5: 224/3 x^5
• x^4: 560/27 x^4
• x^3: 280/81 x^3 - 27 x^3 = (280/81 - 2187/81) x^3 = -1907/81 x^3
• x^2: 28/81 x^2 - (-108/7) x^2 = 28/81 x^2 + 108/7 x^2 = (28/81 + 108/7) x^2 = 8944/567 x^2
• x: 14/729 x - 144/49 x = (-104290/35721) x
• const: 1/2187 - (-64/343) = 1/2187 + 64/343 = 140311/750141

Итак, итоговое разложение: (2x + 1/3)^7 - (3x - 4/7)^3 = 128 x^7 + (448/3) x^6 + (224/3) x^5 + (560/27) x^4 - (1907/81) x^3 + (8944/567) x^2 - (104290/35721) x + 140311/750141

Краткая проверка:

• Все коэффициенты получены через биномиальную теорему.
• Сумма при вычитании учла знак последнего члена в B^3.
• Финальные коэффициенты даны в виде сокращённых дробей и, где возможно, приведены к общему знаменателю для ясности.

Если хочешь, могу показать численные значения коэффициентов или привести проверку на конкретном примере (подставим число x) для наглядности.