задание 13

Задача 13 (а и б)

Условия: sin(π/3 + x) − cos(π/6 + x) = −√2/2. Найти корни и определить те, что лежат в отрезке [3π/2, 3π].

Часть а) Решение уравнения

1. Раскроем синус и косинус через сумме:

• sin(π/3 + x) = sin(π/3) cos x + cos(π/3) sin x = (√3/2) cos x + (1/2) sin x
• cos(π/6 + x) = cos(π/6) cos x − sin(π/6) sin x = (√3/2) cos x − (1/2) sin x

2. Подставим в выражение: sin(π/3 + x) − cos(π/6 + x) = [(√3/2) cos x + (1/2) sin x] − [(√3/2) cos x − (1/2) sin x] = (√3/2 cos x − √3/2 cos x) + (1/2 sin x + 1/2 sin x) = sin x.

Значит исходное уравнение эквивалентно: sin x = −√2/2.

3. Общее решение для sin x = −√2/2:

• x = −π/4 + 2kπ, или
• x = 5π/4 + 2kπ, где k ∈ Z. (или эквивалентные пары x = 7π/4 + 2kπ и x = 5π/4 + 2kπ)

Ответ для части а): x ∈ { −π/4 + 2kπ, 5π/4 + 2kπ | k ∈ Z }.

Часть б) Найти корни, принадлежащие отрезку [3π/2, 3π]

Рассмотрим каждую семейство:

• Из x = −π/4 + 2kπ: k = 1 даёт x = −π/4 + 2π = 7π/4, что лежит в [3π/2, 3π]. Другие значения k дают либо меньше 3π/2, либо больше 3π.

• Из x = 5π/4 + 2kπ: при k = 0 получаем x = 5π/4 < 3π/2, при k = 1 получаем x = 13π/4 > 3π, то корней в этом отрезке нет.

Итак, единственный корень в [3π/2, 3π]: x = 7π/4.

Итого:

• а) решения уравнения: x = −π/4 + 2kπ или x = 5π/4 + 2kπ, k ∈ Z.
• б) в отрезке [3π/2, 3π] есть один корень: x = 7π/4.