четырёхугольник ABC D- параллелограм. докажите равенства векторов AB и .

Задача: в параллелограмме ABCD доказать равенство векторов AB и DC (то есть AB = DC).

Пояснение и решение

1. Введение в обозначения

• Вектор AB = B − A (направление от точки A к точке B).
• Вектор DC = C − D (направление от точки D к точке C).

2. Связь в параллелограмме

• В параллелограмме диагонали AC и BD пересекаются на их серединах: точка пересечения является серединой обеих диагоналей.
• Векторная запись этого факта (для произвольных позиций вектороv A, B, C, D) выражается как: a + c = b + d, где a, b, c, d — векторные позиции точек A, B, C, D соответственно.

3. Доказательство AB = DC

• Запишем AB и DC через позиции точек: AB = B − A = b − a DC = C − D = c − d
• Используем равенство диагоналей в параллелограмме a + c = b + d. Перепишем его как (b − a) = (c − d). То есть AB = DC.

4. Альтернатива (простой геометрический взгляд)

• Прямые AB и CD противоположны в параллелограмме и имеют одинаковую длину. Направления AB и DC совпадают (независимо от того, как мы смотрим на стороны: AB идёт в одном направлении, а DC — по той же самой оси в противоположном концу расположения точек, что даёт одинаковый вектор). Поэтому векторы AB и DC равны.

5. Частное замечание

• Аналогично можно показать, что BC = AD как векторы ( BC = C − B, AD = D − A; используя a + c = b + d, получаем BC = AD).

Итого

• В параллелограмме ABCD выполняется AB = DC (векторы AB и DC равны).