a^3-8

Решение задачи a^3 - 8

Цель: понять разложение на множители.

1. Узнаём форму разности кубов

• 8 = 2^3, поэтому выражение является разностью кубов: a^3 - 2^3.

2. Применяем формулу разности кубов

• Для x^3 - y^3 существует разложение: (x - y)(x^2 + xy + y^2).
• Здесь x = a, y = 2.

3. Получаем разложение

• a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4).

4. Проверка (простая проверка разведения)

• Раскрываем скобки: (a - 2)(a^2 + 2a + 4) = a^3 + 2a^2 + 4a - 2a^2 - 4a - 8 = a^3 - 8.
• Значение дискриминанта квадратного трёхчлена a^2 + 2a + 4: D = 2^2 - 414 = 4 - 16 = -12 < 0. Значит над множеством вещественных чисел этот квадратник не имеет корней и дальше в реальных множителях разложение не идёт.

5. Дополнительно (для полноты картины)

• В комплексной области a^2 + 2a + 4 можно разложить на линейные множители: a^2 + 2a + 4 = (a + 1 - i√3)(a + 1 + i√3).
• В полном виде через кубические корни единства: a^3 - 8 = (a - 2)(a - 2ω)(a - 2ω^2), где ω — комплексный кубро́т единицы.

Итого: основное и полезное разложение над вещественными числами — a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4).