задача 745 реши через векторы

Задача 745: в прямоугольнике ABCD AB = 3 см, BC = 4 см, M — середина AB. Найдите длины векторов AB, BC, DC, MC, MA, CB, AC.

Решение через векторы (пошагово):

1. Зададим координаты удобным образом:

• A = (0, 0)
• B = (3, 0) (потому что AB = 3)
• C = (3, 4) (потому что BC = 4, вверх)
• D = (0, 4)
• M — середина AB: M = ((0+3)/2, (0+0)/2) = (1.5, 0)

2. Вектора (для ясности можно просто использовать их длины):

• AB = B − A = (3, 0) → |AB| = √(3^2 + 0^2) = 3 см
• BC = C − B = (0, 4) → |BC| = √(0^2 + 4^2) = 4 см
• DC = C − D = (3, 0) → |DC| = √(3^2 + 0^2) = 3 см
• CB = B − C = (0, −4) → |CB| = √(0^2 + (−4)^2) = 4 см
• AC = C − A = (3, 4) → |AC| = √(3^2 + 4^2) = 5 см

3. Расстояния от/до середины M:

• MA = A − M = (−1.5, 0) → |MA| = √((−1.5)^2 + 0^2) = 1.5 см
• MC = C − M = (3 − 1.5, 4 − 0) = (1.5, 4) → |MC| = √(1.5^2 + 4^2) = √(2.25 + 16) = √18.25 = √73/2 ≈ 4.27 см

Итого длины векторов (по модулю):

• |AB| = 3 см
• |BC| = 4 см
• |DC| = 3 см
• |MC| = √73/2 см ≈ 4.27 см
• |MA| = 3/2 см = 1.5 см
• |CB| = 4 см
• |AC| = 5 см

Дополнительно заметка: в прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому AB = CD = 3 см, BC = AD = 4 см. Формулы для общего случая: если стороны a = AB и b = BC, то

• |AB| = a
• |BC| = b
• |CD| = a
• |CB| = b
• |AC| = √(a^2 + b^2)
• |MA| = a/2
• |MC| = √((a/2)^2 + b^2)