Дед мороз стал раскладывать 361 конфету в 40 подарков. В какой то момент он обнаружил, что в некоторых подарках по 6 конфет, а в остальных - по k конфет (k - натуральное число).…

Задача: 361 конфета distributes по 40 подаркам. В некоторых подарках по 6 конфет, в остальных — по k конфет (k — натуральное число). Найти все возможные k.

Решение:

• Пусть a — число подарков с по 6 конфет, b — число подарков с по k конфет. Тогда

  • a + b = 40
  • 6a + kb = 361
  • предполагаем, что и а, и b положительны (есть хотя бы один подарок с 6 конфет и хотя бы один с k конфет).

• Из уравнений вытекает 361 = 6a + k(40 − a) → 361 = 40k + a(6 − k) => 361 − 40k = a(6 − k) => 40k − 361 = a(k − 6)

• Введём d = k − 6 > 0 (так как k > 6, чтобы среднее значение конфет быть около 9). Тогда a = (40d − 121) / d = 40 − 121/d. Чтобы a было целым, d должно делить 121. Единственные положительные делители 121: 1, 11, 121.

• Проверяем варианты:

  • d = 1: a = 40 − 121 = −81 (некорректно, а < 1)
  • d = 11: a = 40 − 121/11 = 40 − 11 = 29, b = 11, k = d + 6 = 17. Проверка: 6·29 + 17·11 = 174 + 187 = 361. Верно.
  • d = 121: a = 40 − 121/121 = 39, b = 1, k = d + 6 = 127. Проверка: 6·39 + 127·1 = 234 + 127 = 361. Верно.

Вывод: Возможные значения k: 17 и 127.

Соответствующие раздачи:

• При k = 17: 29 подарков по 6 конфет и 11 подарков по 17 конфет.
• При k = 127: 39 подарков по 6 конфет и 1 подарок по 127 конфет.