18^х-8×6^х-3×2^х=0

Задача: 18^x - 8·6^x - 3·2^x = 0

Пошаговое решение

1. Раскроем степени через 2^x и 3^x.

• 18^x = (2·3^2)^x = 2^x · (3^2)^x = 2^x · 3^{2x}
• 6^x = (2·3)^x = 2^x · 3^x
• 2^x остаётся как есть.

2. Обозначим A = 2^x > 0 и B = 3^x > 0. Получим уравнение в переменных A и B: A·B^2 - 8·A·B - 3·A = 0

3. Вынесем общий множитель A: A (B^2 - 8B - 3) = 0

4. Так как A = 2^x > 0 для любых реальных x, подходящее решение должно удовлетворять: B^2 - 8B - 3 = 0, где B = 3^x > 0.

5. Решим квадратное уравнение по B: B = [8 ± sqrt(64 + 12)] / 2 = [8 ± sqrt(76)] / 2 = 4 ± sqrt(19).

6. Проверим допустимость корней:

• 4 + sqrt(19) > 0 — допустим.
• 4 - sqrt(19) ≈ 4 - 4.359 < 0 — B = 3^x не может быть отрицательным, значит этот корень исключаем.

thus B = 4 + sqrt(19).

7. Вернёмся к x: 3^x = 4 + sqrt(19) x = log_3 (4 + sqrt(19)) = ln(4 + sqrt(19)) / ln(3)

8. Приближённое значение: 4 + sqrt(19) ≈ 8.3589 x ≈ log_3(8.3589) ≈ 1.9326 ≈ 1.933

Ответ: единственное действительное решение x = log_3 (4 + sqrt(19)) ≈ 1.933.