Е(х)=(5х/х+2- х-2/х +1) : 5х²+2х+4/4х найти натуральное число х при которых значение выражения Е(х) есть натуральное число

Цель: понять и вычислить натуральные x, при которых E(x) принимает натуральное значение.

Данная задача предполагает следующий разбор выражения (логика разборности принята так, чтобы получить гармоничное упрощение): E(x) = [5x/(x+2) - (x-2)/x + 1] ÷ [(5x^2 + 2x + 4)/(4x)]

1. Обозначим числитель A и знаменатель B:

• A = 5x/(x+2) - (x-2)/x + 1
• B = (5x^2 + 2x + 4)/(4x)

2. Упрощаем A: Приведем к общему знаменателю x(x+2):

• 5x/(x+2) = 5x^2 / [x(x+2)]
• (x-2)/x = (x-2)(x+2) / [x(x+2)]
• 1 = (x^2 + 2x) / [x(x+2)]

Тогда A = [5x^2 - (x-2)(x+2) + (x^2 + 2x)] / [x(x+2)] = [5x^2 - (x^2 - 4) + x^2 + 2x] / [x(x+2)] = [5x^2 - x^2 + 4 + x^2 + 2x] / [x(x+2)] = [5x^2 + 2x + 4] / [x(x+2)]

3. Запишем E(x) через A и B: E(x) = A / B = [ (5x^2 + 2x + 4) / (x(x+2)) ] ÷ [ (5x^2 + 2x + 4) / (4x) ]

Так как 5x^2 + 2x + 4 не равно нулю для любого целого x (дискриминант 4 - 80 = -76 < 0), можно сократить: E(x) = (4x) / (x(x+2)) = 4 / (x+2)

4. Теперь требование: E(x) ∈ N при x ∈ N. E(x) = 4 / (x+2) — целое положительное число тогда, когда x+2 является делителем 4.

Делители 4: 1, 2, 4. Но x ∈ N и x ≥ 1, поэтому x+2 ≥ 3. Единственный подходящий делитель — 4: x+2 = 4 ⇒ x = 2

5. Проверка: E(2) = 4 / (2+2) = 1, что натуральное число.

Ответ: единственное натуральное число x, при котором E(x) натурально, равно 2.