y=x^2-4 Непрерывная функция решить и построить

Задача: y = x^2 - 4. Непрерывная функция. Решение и построение графика.

Цель: детальное понимание, разбор свойств и построение графика.

1. Непрерывность

• Это многочлен: f(x) = x^2 - 4.
• Поскольку многочлены являются комбинациями непрерывных функций (константы, операция сложения/вычитания/умножения), f(x) непрерывна на всей числовой оси R.
• Формальное замечание: для любого a ∈ R предел x→a f(x) = a^2 - 4 = f(a). Значит, функция непрерывна в каждой точке.

2. Основные характеристики графика

• Область определения: D = (-∞, +∞) (все действительные x).
• Область значений (множество значений): Range = [ -4, +∞ ), так как минимальное значение достигается в вершине параболы.
• Вершина параболы: (0, -4). Все точки имеют форму (x, x^2 - 4).
• Ось симметрия: по оси y, то есть по оси x = 0.
• Пересечение с осью y: при x = 0, y = -4, то есть точка (0, -4).
• Пересечения с осью x (нулевые точки): f(x) = 0 → x^2 - 4 = 0 → x = ±2. Значит, точки (2, 0) и (-2, 0).
• Примерные точки для построения:
  • x = -3: f(-3) = 9 - 4 = 5 → (-3, 5)
  • x = -2: f(-2) = 0 → (-2, 0)
  • x = -1: f(-1) = 1 - 4 = -3 → (-1, -3)
  • x = 0: f(0) = -4 → (0, -4)
  • x = 1: f(1) = -3 → (1, -3)
  • x = 2: f(2) = 0 → (2, 0)
  • x = 3: f(3) = 5 → (3, 5)

3. Как построить график (пошагово)

• Нарисуйте координатные оси.
• Отметьте вершину: (0, -4) и ось симметрии x = 0.
• Отметьте точки пересечения с осью y и осью x: (0, -4), (-2, 0), (2, 0).
• Соединяйте точки плавной параболической кривой, учитывая, что график открывается вверх и симметричен относительно оси y.
• Можно дополнительно отметить пары точек: (-3, 5) и (3, 5) для более точной формы.

4. Резюме

• y = x^2 - 4 – непрерывная функция на всей числовой оси.
• График — парабола, вершина в (0, -4), ось симметрии x = 0, нули при x = ±2, минимальное значение -4 при x = 0.
• Диапазон значений: [ -4, ∞ ).

Если хотите, могу привести компактную запись в виде набора точек для быстрого построения на листе, или сделать более подробную графическую иллюстрацию (например, ASCII-чертёж).