(2x+1)²-x²=3x(x+1)

Ниже детальное решение. Я приведу два подхода на всякий случай — оба корректны и дают один корень x = -1.

Способ 1. Разложение разности квадратов

1. Применим тождество разности квадратов: (2x+1)^2 - x^2 = [(2x+1) - x][(2x+1) + x] = (x+1)(3x+1).
2. Подставим в уравнение: (x+1)(3x+1) = 3x(x+1).
3. Перенесем правую часть влево и вынесем общий множитель (x+1): (x+1)(3x+1) - 3x(x+1) = (x+1)[(3x+1) - 3x] = (x+1)·1 = x+1.
4. Получаем уравнение: x+1 = 0 ⇒ x = -1.
5. Проверка: подставим в исходное уравнение: Левый: (2(-1)+1)^2 - (-1)^2 = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0. Правый: 3(-1)((-1)+1) = -3·0 = 0. Совпадает.

Способ 2. Раскрытие скобок (распределение)

1. (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1, значит LHS = 4x^2 + 4x + 1 - x^2 = 3x^2 + 4x + 1.
2. RHS: 3x(x+1) = 3x^2 + 3x.
3. Сравним: 3x^2 + 4x + 1 = 3x^2 + 3x.
4. Вычтем 3x^2: 4x + 1 = 3x.
5. Вычтем 3x: x = -1.
6. Проверка: как в первом методе — подтверждается.

Ответ: x = -1. Все решения верны, единственный корень.