Отрезки АВ и СД пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. а)докажите что треугольник АОС равен треугольнике ВОД. б)найдите угол ОАС, если угол ОДВ равен…

Не забуду про возможные опечатки в задаче: скорее всего буква V означает B, а буква S — C. Мы будем работать с точками A, B, C, D и пересечением O. Задача сводится к доказательству равенства треугольников AOC и BOD и далее к нахождению угла OAC.

1. Часть a) докажите, что треугольник AOC равен треугольнику BOD

• O — середина AB, значит AO = OB.
• O — середина CD, значит CO = OD.
• Прямые AB и CD пересекаются в O; углы AOC и BOD являются вертикальными (они образованы парами противоположных лучей AO и CO против OB и OD). Следовательно ∠AOC = ∠BOD.

Имеем три признака для SAS: AO = OB, OC = OD, ∠AOC = ∠BOD. Значит ΔAOC ≅ ΔBOD.

Следствия из конгруенции: соответствующие стороны и углы равны, например:

• ∠OAC = ∠OBD,
• ∠OCA = ∠BDO,
• AC = BD и т. д.

2. Часть б) найдите угол OAC, если угол ODB равен 20°. Указание "Угол АОС равен 115°" дано (∠AOC = 115°).

• По условию ∠AOC = ∠BOD (из пункта 1). Значит ∠BOD = 115°.

• В треугольнике BOD сумма углов равна 180°: ∠BOD + ∠OBD + ∠ODB = 180°. 115° + ∠OBD + 20° = 180° → ∠OBD = 45°.

• По конгруэнции треугольников AOC и BOD углу ∠OBD соответствует угол ∠OAC. Следовательно, ∠OAC = ∠OBD = 45°.

Ответ: а) треугольники ΔAOC и ΔBOD равны (конгруэнтны) по SAS; б) угол ∠OAC равен 45°. (Если в условии присутствуют подобные опечатки, они не меняют логику решения: ∠OAC = 45°.)