(x-3) /(x(x+3))

Цель: Понять. Задача: разложение (x-3) / (x(x+3)) на частные дроби. 1) Ограничения области определения - Делитель не может быть нулем: x ≠ 0 и x ≠ -3. - Сам разбор ведём в рамках этих условий. 2) Разложение на частичные дроби Пусть (x-3) / (x(x+3)) = A/x + B/(x+3). 3) Уравнение после приведения к общему знаменателю Умножим обе стороны на x(x+3): x - 3 = A(x+3) + Bx = (A + B)x + 3A. 4) Сравнение коэффициентов По степеням x равенства дают систему: - Коэффициент при x: A + B = 1 - Свободный член: 3A = -3 → A = -1 Отсюда B = 1 - A = 1 - (-1) = 2. 5) Ответ (x-3) / (x(x+3)) = -1/x + 2/(x+3). 6) Проверка (необязательно, но полезно) -1/x + 2/(x+3) = [-(x+3) + 2x] / [x(x+3)] = (x - 3) / [x(x+3)]. Проверка верна. Итого: разложение на частичные дроби — -1/x + 2/(x+3), области определения: x ≠ 0, x ≠ -3.