a³-8

Задача: a^3 - 8

Цель: понять и подробно разобрать решение.

Шаг 1. Узнать форму

• Заметили, что это разность кубов: a^3 - 2^3.

Шаг 2. Применить формулу разности кубов

• Формула: x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2).
• Здесь x = a, y = 2.
• Получаем: a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4).

Шаг 3. Проверка

• Перемножим: (a - 2)(a^2 + 2a + 4) = a^3 + 2a^2 + 4a - 2a^2 - 4a - 8 = a^3 - 8. Проверка верна.

Шаг 4. Уточнение про корни и факторизацию

• Второй множитель a^2 + 2a + 4 имеет дискриминант Δ = 2^2 - 4·1·4 = 4 - 16 = -12 < 0, значит над множеством действительных чисел он не раскладывается.
• Над комплексными числами корни второго множителя: a = [-2 ± sqrt(-12)]/2 = -1 ± i√3.

Шаг 5. Для уравнения a^3 - 8 = 0

• Приравняем к нулю: (a - 2)(a^2 + 2a + 4) = 0.
• Отсюда a = 2 или a = -1 ± i√3.
• Реальное решение: a = 2.

Итого

• Факторизация: a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4).
• Реальное решение уравнения a^3 - 8 = 0: a = 2.