в равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона равна 1 а основание AC равно X. Угол Альфа находится напротив стороны AC. выразите через тригонометрические функции угла альфы…

Дано: равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной AB = BC = 1 и основанием AC = x. Угол α находится напротив стороны AC, то есть α = ∠B.

1. Выражение x через α (через тригонометрические функции α)

• В равнобедренном треугольнике высота из вершины B к основанию AC является медианой и биссектрисой. Пусть M — середина AC, тогда AM = CM = x/2, и ∠ABM = ∠MBC = α/2.
• В прямоугольном треугольнике ABM гипотенуза AB = 1, противолежащий катет AM = x/2. Таким образом: sin(α/2) = AM / AB = (x/2) / 1 = x/2. Отсюда x = 2 sin(α/2).

Или эквивалентно по закону cosines для треугольника AB = BC = 1, AC = x: x^2 = AB^2 + BC^2 − 2 AB·BC cos α = 2 − 2 cos α, отсюда x = √(2 − 2 cos α) = 2 sin(α/2).

2. Выражения тригонометрических функций α через x

• cos α: cos α = 1 − x^2/2.
• sin α: sin α = 2 sin(α/2) cos(α/2) = 2·(x/2)·cos(α/2) = x cos(α/2). Так как cos(α/2) = √(1 − sin^2(α/2)) = √(1 − x^2/4), получаем sin α = x √(1 − x^2/4).
• tan α: tan α = sin α / cos α = [x √(1 − x^2/4)] / (1 − x^2/2). Эквивалентно и в виде без корня в числителе: tan α = x √(4 − x^2) / (2 − x^2).

3. Примечания по диапазону

• 0 < x < 2 (основание треугольника может иметь длину от 0 до 2).
• Соответственно α ∈ (0, π).

Итого:

• x = 2 sin(α/2) = √(2 − 2 cos α).
• cos α = 1 − x^2/2.
• sin α = x √(1 − x^2/4).
• tan α = x √(1 − x^2/4) / (1 − x^2/2) = x √(4 − x^2) / (2 − x^2).