найдите :cos a и tg a, если sin a = 1/ 4

Задача: найти cos a и tan a, если sin a = 1/4.

Подход 1 (треугольник, простой путь)

• sin a = противолежащий/гипотенуза = 1/4. Пусть гипотенуза = 4, противолежащий = 1.
• Тогда соседняя сторона по отношению к углу a: sqrt(4^2 − 1^2) = sqrt(16 − 1) = sqrt(15).
• cos a = сосед/гипотенуза = sqrt(15) / 4. Но знак cos зависит от квадранта, в котором лежит угол a.
• tan a = противолежащий/соседняя = 1 / sqrt(15) = sqrt(15) / 15 (при рационализации).

Подход 2 (площадь единичной окружности, учёт знаков)

• cos^2 a = 1 − sin^2 a = 1 − (1/4)^2 = 1 − 1/16 = 15/16, значит |cos a| = sqrt(15)/4.
• tan a = sin a / cos a, поэтому |tan a| = (1/4) / (sqrt(15)/4) = 1/ sqrt(15) = sqrt(15)/15.
• Так как sin a > 0, возможны два варианта по квадранту:
  • Квадрант I: cos a > 0, tan a > 0 → cos a = sqrt(15)/4, tan a = sqrt(15)/15.
  • Квадрант II: cos a < 0, tan a < 0 → cos a = − sqrt(15)/4, tan a = − sqrt(15)/15.

Итого:

• Если a в первом квадранте: cos a = sqrt(15)/4, tan a = sqrt(15)/15.
• Если a во втором квадранте: cos a = − sqrt(15)/4, tan a = − sqrt(15)/15.