3²4³•12² ————— 9²•6³

Задача: (3^2 · 4^3 · 12^2) / (9^2 · 6^3)

Цель: понять решение подробно.

1. Распишем каждое число в простые множители

• 3^2 уже в виде простого множителя.
• 4^3 = (2^2)^3 = 2^6.
• 12^2. Число 12 = 2^2 · 3, значит 12^2 = (2^2 · 3)^2 = 2^4 · 3^2.
• 9^2 = (3^2)^2 = 3^4.
• 6^3 = (2 · 3)^3 = 2^3 · 3^3.

2. Объединим числитель и знаменатель по степеням

• Числитель: 3^2 · 4^3 · 12^2 = 3^2 · 2^6 · (2^4 · 3^2) = 2^(6+4) · 3^(2+2) = 2^10 · 3^4.
• Знаменатель: 9^2 · 6^3 = 3^4 · (2^3 · 3^3) = 2^3 · 3^(4+3) = 2^3 · 3^7.

3. Сократим дробь (2^10 · 3^4) / (2^3 · 3^7) = 2^(10-3) · 3^(4-7) = 2^7 · 3^(-3).

4. Приведём к обычной дроби 2^7 · 3^(-3) = 2^7 / 3^3 = 128 / 27.

5. Дополнительная форма

• В смешанном виде: 128/27 = 4 остаётся 20/27, значит 4 20/27.
• В десятичной форме примерно 4.740740...

Ответ: 128/27 (или 4 20/27).