Реши эти неравенства a) 4x ^ 2 + 4x - 3 ≥ 0 в) 6x ^ 2 - 7x - 20 ≤ 0 б) 12x ^ 2 + x - 1 < 0 г) 15x ^ 2 - 29x - 2 > 0

Ниже даю подробное решение каждой неравенства с шагами и объяснениями (покажу, как нашли корни и как определили знак квадратичной функции на промежутках). Общий метод (для каждого случая): - Решаем соответствующее квадратное равенство ax^2 + bx + c = 0. - Вычисляем дискриминант Δ = b^2 - 4ac; если Δ > 0, корни x1 ≤ x2 = (-b ± sqrt(Δ)) / (2a). - Поскольку a > 0 во всех задачах, парабола раскрывается вверх: знак ax^2 + bx + c совпадает с знаком вне промежутка между корнями и противоположен внутри него. - В зависимости от знака неравенства выбираем интервалы и учитываем включение или исключение концов. a) 4x^2 + 4x - 3 ≥ 0 - Δ = 4^2 - 4·4·(-3) = 16 + 48 = 64. - Корни: x = (-4 ± sqrt(64)) / (2·4) = (-4 ± 8) / 8 ⇒ x1 = (-4 - 8)/8 = -12/8 = -3/2, x2 = (-4 + 8)/8 = 4/8 = 1/2. - Так как a = 4 > 0, квадратичная функция вне промежутка между корнями неотрицательна. - Решение: (-∞, -3/2] ∪ [1/2, ∞). б) 6x^2 - 7x - 20 ≤ 0 - Δ = (-7)^2 - 4·6·(-20) = 49 + 480 = 529. - Корни: x = (7 ± sqrt(529)) / (2·6) = (7 ± 23) / 12. - x1 = (7 - 23)/12 = -16/12 = -4/3. - x2 = (7 + 23)/12 = 30/12 = 5/2. - a = 6 > 0, поэтому ≤ 0 на промежутке между корнями. - Решение: [-4/3, 5/2]. в) 12x^2 + x - 1 < 0 - Δ = 1^2 - 4·12·(-1) = 1 + 48 = 49. - Корни: x = (-1 ± sqrt(49)) / (2·12) = (-1 ± 7) / 24. - x1 = (-1 - 7)/24 = -8/24 = -1/3. - x2 = (-1 + 7)/24 = 6/24 = 1/4. - a = 12 > 0, значит знак минус на промежутке между корнями. - Решение: (-1/3, 1/4). г) 15x^2 - 29x - 2 > 0 - Δ = (-29)^2 - 4·15·(-2) = 841 + 120 = 961. - Корни: x = (29 ± sqrt(961)) / (2·15) = (29 ± 31) / 30. - x1 = (29 - 31)/30 = -2/30 = -1/15. - x2 = (29 + 31)/30 = 60/30 = 2. - a = 15 > 0, значит знак плюс вне промежутка между корнями. - Решение: (-∞, -1/15) ∪ (2, ∞). Краткие проверки (для уверенности): - В a) подбираем x = -2 (≤ -3/2) даёт ≥ 0; x = 0 даёт -3 < 0 не подходит, поэтому верно. - В b) между -4/3 и 5/2 выражение ≤ 0; вне этого диапазона > 0. - В в) между -1/3 и 1/4 выражение < 0; вне — > 0. - В г) меньше -1/15 или больше 2 — > 0; между -1/15 и 2 — < 0 или = 0 в точках корней. Если хотите, могу дополнительно нарисовать nº-рисунок знаков на этих интервалах или привести альтернативные способы проверки (например, разложение на произведение, факторизация там, где она возможно).