Геометрия · 10 класс Задача №3342056
А
А
докажите что если две соседней вершины четырёхугольника и точки пересечения его диагоналей произойдёт одной плоскости то и две другие вершины принадлежат этой плоскости
Задача: Пусть ABCD — четырехугольник в пространстве. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Пусть две соседние вершины A и B и точка пересечения диагоналей O лежат в одной плоскости. Докажите, что и две остальные вершины C и D принадлежат этой же плоскости.
Пошаговое решение:
- Определение плоскости
- Так как A, B и O не лежат на одной прямой (если они бы лежали на одной прямой, то диагонали бы совпадали или задача была бы тривиальной degenerate), через три неколлинеарные точки A, B, O существует единая плоскость π, содержащая их.
- Показать, что AC лежит в этой плоскости
- Точка O лежит на диагонали AC, значит прямая AC проходит через A и O.
- Так как A и O принадлежат плоскости π, прямая AC, которая едина с AO, тоже лежит в плоскости π.
- Следовательно C принадлежит π.
- Показать, что BD лежит в этой плоскости
- Аналогично O лежит на диагонали BD, значит прямая BD проходит через B и O.
- Так как B и O принадлежат плоскости π, прямая BD тоже лежит в π.
- Следовательно D принадлежит π.
- Вывод
- Мы показали, что через A, B и O построенная плоскость π содержит и C, и D. Значит все вершины A, B, C, D лежат в одной плоскости.
Замечание
- В обычной постановке предполагается, что диагонали AC и BD пересекаются не на AB, то есть A, B, O не коллинеарны. Если же A, B, O коллинеарны (degenerate случай), задача становится тривиальной: все точки лежат на одной прямой и, следовательно, на любой плоскости. Но в стандартной формулировке достаточно считать, что A, B, O не коллинеарны.
Итог: из того, что две соседние вершины A, B и точка пересечения диагоналей O лежат в одной плоскости, следует, что остальные две вершины C и D тоже лежат в той же плоскости.
