3х²+х меньше 0

Разберём неравенство: 3x^2 + x < 0.

Способ 1. Факторизация и анализ знаков

• Сначала вынесем общий множитель: 3x^2 + x = x(3x + 1).
• Неравенство становится x(3x + 1) < 0.
• Найдём корни квадратного выражения: x = 0 и 3x + 1 = 0 → x = -1/3.
• Эти точки делят числовую ось на три промежутка: (-∞, -1/3), (-1/3, 0), (0, ∞).
• Подставим произвольные значения в каждый промежуток:
  • x = -1: (-1)(3(-1)+1) = (-1)(-2) = 2 > 0 → не подходит.
  • x = -1/6: (-1/6)(3(-1/6)+1) = (-1/6)(-1/2+1) = (-1/6)(1/2) = -1/12 < 0 → подходит.
  • x = 1: (1)(3·1+1) = 4 > 0 → не подходит.
• Значит, выражение меньше нуля только на промежутке (-1/3, 0).

Способ 2. Альтернативный подход через completing the square (для понимания)

• 3x^2 + x можно записать как 3[(x + 1/6)^2 - 1/36].
• Тогда неравенство 3x^2 + x < 0 становится: 3[(x + 1/6)^2 - 1/36] < 0 → (x + 1/6)^2 < 1/36.
• Это верно при |x + 1/6| < 1/6, что даёт -1/3 < x < 0.

Окончательный ответ: x ∈ (-1/3, 0) (то есть от -1/3 до 0 не включая концы).