Задача: найти все тройки положительных целых чисел (a, b, c), для которых a + gcd(a, b) = b + gcd(b, c) = c + gcd(c, a).
Пусть:
- g1 = gcd(a, b),
- g2 = gcd(b, c),
- g3 = gcd(c, a).
И пусть общее значение равно S, то есть
a + g1 = b + g2 = c + g3 = S.
Тогда можно переписать
a = S − g1, b = S − g2, c = S − g3.
По определению gcd(a, b) = g1, значит gcd(S − g1, S − g2) = g1.
Так как число g1 делит оба аргумента, оно делит и их разность:
(S − g2) − (S − g1) = g1 − g2.
Следовательно g1 | (g1 − g2), то есть g1 | g2.
Аналогично из gcd(b, c) = g2 получаем gcd(S − g2, S − g3) = g2, то g2 | (g2 − g3) → g2 | g3.
И из gcd(c, a) = g3 получаем gcd(S − g3, S − g1) = g3, то g3 | (g3 − g1) → g3 | g1.
Имеем цепочку делимости:
g1 | g2, g2 | g3, g3 | g1.
Отсюда g1 = g2 = g3. Обозначим общую величину за g.
Тогда a = S − g, b = S − g, c = S − g, то есть a = b = c.
Итак, единственные решения — всеativity triples с равными компонентами:
а) все целые t > 0: (t, t, t).
Проверка: если a = b = c = t, то gcd(a, b) = gcd(t, t) = t, и a + gcd(a, b) = t + t = 2t одинаково для всех тройек. Значит такие тройки действительно удовлетворяют условию.
Ответ: все тройки положительных целых чисел вида (t, t, t), где t ∈ Z_{>0}.
