Обозначим через х слово «кошка», а через Р(х) предикат «у есть усы». Запишите каждое из высказываний в символьной форме: (а) усы есть у всех кошек; (6) найдется кошка без усов;…

Пояснение и решение

Задача использовать следующие обозначения:

• domain: все объекты (можно также считать, что речь идёт о кошках; тогда это можно сократить до ∀x, ∃x без K(x)).
• K(x): «x — кошка».
• P(x): «у x есть усы».

Перевод высказываний в символьную форму

a) «у ус есть у всех кошек»
Логически: для каждого объекта если он является кошкой, то у него есть усы. Формула: ∀x (K(x) → P(x)) Пояснение: каждый кот обладает усами.

b) «найдется кошка без усов»
Логически: существует такой x, что x — кошка и у него нет усов. Формула: ∃x (K(x) ∧ ¬P(x))

в) «не бывает кошек с усами»
Логически: для всех x, если x — кошка, то у него нет усов. Формула: ∀x (K(x) → ¬P(x)) Эквивалентно: ¬∃x (K(x) ∧ P(x))

Отрицание высказывания (б)

• Официальная форма: ¬∃x (K(x) ∧ ¬P(x))
• Эквивалентно другим формам: ∀x ¬(K(x) ∧ ¬P(x)) или ∀x (¬K(x) ∨ P(x))

Отрицание высказывания (в)

• Символами: ¬∀x (K(x) → ¬P(x))
• Упростим отрицание: ¬∀x (K(x) → ¬P(x)) ≡ ∃x (K(x) ∧ P(x))
• Слова: «Существует кошка с усами.»

Кратко резюмируя: a) ∀x (K(x) → P(x)) b) ∃x (K(x) ∧ ¬P(x)); отрицание: ¬∃x (K(x) ∧ ¬P(x)) (или ∀x (¬K(x) ∨ P(x))) c) ∀x (K(x) → ¬P(x)); отрицание: ∃x (K(x) ∧ P(x)) = «Существует кошка с усами.»