Задача на триугольник ABC, где BD — медиана к AC, D — середина AC. Даны: AB = 8 м, AC = 10 м, угол A = 30°. Нужно найти периметр треугольника BDC.
Важно отметить: в условии сказано, что BD — медиана, поэтому D — midpoint of AC, т.е. AD = DC = AC/2 = 5 м. Прямо это учитываем, даже если текст про «равнобедренный» может быть противоречивым.
Шаг 1. Найдём сторону BC по теореме косинусов в треугольнике ABC
BC^2 = AB^2 + AC^2 − 2·AB·AC·cos(∠A).
cos(∠A) = cos 30° = √3/2.
Подставим:
BC^2 = 8^2 + 10^2 − 2·8·10·(√3/2)
= 64 + 100 − 160·(√3/2)
= 164 − 80√3.
Так что BC = sqrt(164 − 80√3) ≈ 5.043405 м.
Шаг 2. Найдём длину медианы BD к стороне AC
Формула длины медианы, проведённой к стороне b треугольника со сторонами a, b, c:
m_b^2 = (2a^2 + 2c^2 − b^2)/4.
Здесь:
- a = BC,
- b = AC = 10,
- c = AB = 8.
С учётом a^2 = BC^2 = 164 − 80√3 получаем:
m_BD^2 = (2(164 − 80√3) + 2·8^2 − 10^2)/4
= (328 − 160√3 + 128 − 100)/4
= (356 − 160√3)/4
= 89 − 40√3.
Следовательно, BD = sqrt(89 − 40√3) ≈ 4.440492 м.
Шаг 3. Периметр треугольника BDC
DC = AD = 5 м по условию, BC найдено ранее, BD найдено.
Perimeter P(BDC) = BD + DC + BC
≈ 4.440492 + 5 + 5.043405
≈ 14.483897 м.
Ответ (примерное): P(BDC) ≈ 14.48 м.
Можно также записать в точном виде:
P(BDC) = sqrt(89 − 40√3) + 5 + sqrt(164 − 80√3) (м).
