Rezolvăm exercițiul 16: Efectuați:
a) (2 − √3)^3
b) (√2 − √3)^3
c) (3√5 + 1)^3
d) (2 + √3)^3
Metodă: folosim formulele binomiale (a ± b)^3 = a^3 ± 3a^2b + 3ab^2 ± b^3 sau, dacă preferăm, calcul pas cu pas prin înmulțire.
a) (2 − √3)^3
Folosește (a − b)^3 = a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3, cu a = 2, b = √3.
- a^3 = 8
- 3a^2b = 3·4·√3 = 12√3
- 3ab^2 = 3·2·(√3)^2 = 6·3 = 18
- b^3 = (√3)^3 = 3√3
Rezultat: 8 − 12√3 + 18 − 3√3 = 26 − 15√3
b) (√2 − √3)^3
Cu aceeași formulă, cu a = √2, b = √3:
- a^3 = (√2)^3 = 2√2
- 3a^2b = 3·(√2)^2·√3 = 3·2·√3 = 6√3
- 3ab^2 = 3·√2·(√3)^2 = 3·√2·3 = 9√2
- b^3 = (√3)^3 = 3√3
Rezultat: (2√2 − 6√3 + 9√2 − 3√3) = (2√2 + 9√2) + (−6√3 − 3√3) = 11√2 − 9√3
c) (3√5 + 1)^3
Cu formulaa (a + b)^3, a = 3√5, b = 1:
- a^3 = (3√5)^3 = 27·5√5 = 135√5
- 3a^2b = 3·(3√5)^2·1 = 3·(9·5) = 135
- 3ab^2 = 3·(3√5)·1^2 = 9√5
- b^3 = 1
Rezultat: 135√5 + 135 + 9√5 + 1 = (135√5 + 9√5) + (135 + 1) = 144√5 + 136
d) (2 + √3)^3
Cu formulaa (a + b)^3, a = 2, b = √3:
- a^3 = 8
- 3a^2b = 3·4·√3 = 12√3
- 3ab^2 = 3·2·(√3)^2 = 18
- b^3 = (√3)^3 = 3√3
Rezultat: 8 + 12√3 + 18 + 3√3 = (8 + 18) + (12√3 + 3√3) = 26 + 15√3
Rezultatele finale ale exercițiului 16:
a) 26 − 15√3
b) 11√2 − 9√3
c) 136 + 144√5
d) 26 + 15√3
