Реши задачи и промокнут каждый

Ниже подробные решения по всем 12 задачам. Я расписываю шаги и даю ответ для каждого пункта. 1) В треугольнике ABC AC = BC = 5, sin A = 7/25. Найдите AB. - Обозначим стороны: a = BC, b = CA, c = AB. Так как AC = BC, то a = b = 5, c — искомая сторона AB. - sin A дано. Найдём cos A: cos A = sqrt(1 − sin^2 A) = sqrt(1 − (7/25)^2) = sqrt(576/625) = 24/25. - Закон cos для угла A: a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A. Подставим: 5^2 = 5^2 + c^2 − 2·5·c·(24/25). ⇒ 25 = 25 + c^2 − (48/5)c. ⇒ 0 = c^2 − (48/5)c. ⇒ 5c^2 − 48c = 0 ⇒ c(5c − 48) = 0. Так как c > 0, получаем c = 48/5 = 9.6. - Ответ: AB = 48/5 = 9.6. 2) В треугольнике ABC AC = BC, AB = 9,6, sin A = 7/25. Найдите AC. - Это равноивосторонний треугольник по основаниям: A = B, т.к. AC = BC. Пусть a = BC = AC (иск. сторона). - Пусть c = AB = 9.6. Так как A = B, то C — вершина основания. - Из A = B: A = (180° − C)/2, поэтому sin A = sin((180° − C)/2) = cos(C/2). Значит cos(C/2) = 7/25. Тогда cos C = 2cos^2(C/2) − 1 = 2(7/25)^2 − 1 = 2·49/625 − 1 = 98/625 − 625/625 = −527/625. - По закону косинусов для стороны c против угла C: c^2 = a^2 + a^2 − 2a^2 cos C = 2a^2(1 − cos C). Подстановка cos C = −527/625 даёт: c^2 = 2a^2(1 + 527/625) = 2a^2 · (1152/625) = (2304/625) a^2. Отсюда a^2 = c^2 · 625 / 2304. c^2 = 9.6^2 = 92.16, поэтому a^2 = 92.16 · 625 / 2304 = 57600/2304 = 25, значит a = 5. - Ответ: AC = BC = 5. 3) В треугольнике ABC AC = BC = 8, cos A = 0,5. Найдите AB. - Пусть a = BC = 8, b = CA = 8, c = AB. - Закон cos для угла A: a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A. 8^2 = 8^2 + c^2 − 2·8·c·0.5 → 64 = 64 + c^2 − 8c. 0 = c^2 − 8c → c(c − 8) = 0. - Так как c > 0, c = 8. - Ответ: AB = 8. 4) В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, cos A = 0,5. Найдите AC. - Пусть a = AC = BC, c = AB = 8. - Из тождества для isosceles: a^2 = a^2 + c^2 − 2ac cos A → 0 = c^2 − 2ac cos A. Dåждь 2ac cos A = c^2 → a = c/(2 cos A) = 8/(2·0.5) = 8. - Ответ: AC = 8. 5) В треугольнике ABC AC = BC = 7, tg A = 33/(4√33). Найдите AB. - Пусть a = BC = AC = 7, c = AB. - В равнобедренном треугольнике tan A можно выразить через a и c: tan A = sqrt(4a^2 − c^2) / c. - Подстановка: sqrt(4·7^2 − c^2) / c = 33/(4√33) = √33/4. Делаем квадрат: (196 − c^2)/c^2 = 33/16 → 3136 − 16c^2 = 33c^2 → 3136 = 49c^2 → c^2 = 64 → c = 8. - Ответ: AB = 8. 6) В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, tg A = 33/(4√33). Найдите AC. - Пусть a = AC = BC, c = AB = 8. - Как и ранее: tan A = sqrt(4a^2 − c^2)/c. sqrt(4a^2 − 64)/8 = √33/4 → sqrt(4a^2 − 64) = 2√33 → 4a^2 − 64 = 132 → 4a^2 = 196 → a^2 = 49 → a = 7. - Ответ: AC = 7. 7) В треугольнике ABC AC = BC = 25, AB = 40. Найдите sin A. - a = BC = 25, b = CA = 25, c = AB = 40. - Косинус ANGOLA A: cos A = (b^2 + c^2 − a^2) / (2bc) = (625 + 1600 − 625) / (2·25·40) = 1600 / 2000 = 4/5. - sin A = sqrt(1 − cos^2 A) = sqrt(1 − 16/25) = sqrt(9/25) = 3/5. - Ответ: sin A = 3/5 = 0.6. 8) В треугольнике ABC AC = BC = 8, AB = 8. Найдите cos A. - Все стороны равны 8 → это равносторонний треугольник. - Угол A равен 60°, поэтому cos A = 1/2. - Ответ: cos A = 1/2. 9) В треугольнике ABC AC = BC = 4√5, AB = 16. Найдите tg A. - Пусть a = AC = BC = 4√5, c = AB = 16. - Для равнобедренного треугольника с основанием c и равнобедренными сторонами a формула: tan A = sqrt(4a^2 − c^2) / c. 4a^2 = 4·(4√5)^2 = 4·80 = 320; c^2 = 256. 4a^2 − c^2 = 320 − 256 = 64; sqrt = 8. tan A = 8 / 16 = 1/2. - Ответ: tg A = 1/2. 10) В треугольнике ABC AC = BC = 8, sin A = 0,5. Найдите высоту CH. - Пусть a = AC = BC = 8, c = AB (основание). Из формулы в равнобедренном треугольнике: sin A = sqrt(4a^2 − c^2) / (2a). 0.5 = sqrt(256 − c^2) / 16 → sqrt(256 − c^2) = 8 → 256 − c^2 = 64 → c^2 = 192 → c = 8√3. - Высота CH в таком треугольнике равна h = sqrt(a^2 − (c/2)^2) = sqrt(64 − (4√3)^2) = sqrt(64 − 48) = sqrt(16) = 4. - Ответ: CH = 4. 11) В треугольнике ABC AC = BC, AB = 4, sin A = √17/17. Найдите высоту CH. - Пусть a = AC = BC, c = AB = 4. - Высоту CH можно выразить через основание и угол A: h = (c/2) tan A. - Найдём tan A по данным: sin A = √17/17. Тогда cos A = sqrt(1 − sin^2 A) = sqrt(1 − 17/289) = sqrt(272/289) = (4√17)/17. tan A = sin A / cos A = (√17/17) / (4√17/17) = 1/4. - Границы: h = (4/2) · (1/4) = 2 · 1/4 = 1/2. - Ответ: CH = 1/2. 12) В треугольнике ABC AC = BC, AB = 1, cos A = √17/17. Найдите высоту CH. - Пусть a = AC = BC, c = AB = 1. - Как и ранее: tan A = sqrt(4a^2 − c^2) / c, но удобнее найти через sin и cos. cos A = √17/17 ⇒ cos^2 A = 17/289, sin^2 A = 1 − 17/289 = 272/289. tan A = sin A / cos A = sqrt(272/289) / sqrt(17/289) = sqrt(272)/sqrt(17) = (4√17)/√17 = 4. - Высота: h = (c/2) tan A = (1/2) · 4 = 2. - Ответ: CH = 2. Итоговые ответы (для удобства): 1) AB = 48/5 = 9.6 2) AC = BC = 5 3) AB = 8 4) AC = 8 5) AB = 8 6) AC = 7 7) sin A = 3/5 = 0.6 8) cos A = 1/2 = 0.5 9) tan A = 1/2 10) CH = 4 11) CH = 1/2 12) CH = 2 Если хочешь, могу переписать решения в виде компактных формул или привести дополнительные пояснения по любому пункту.