a_n=9-4n

Задача: a_n = 9 − 4n

Это линейная последовательность (арифметическая прогрессия) с постоянным шагом.

Пошаговое решение и объяснение

1. Найдём первый член

• Подставим n = 1: a_1 = 9 − 4·1 = 5.

2. Найдём шаг (разность между соседними членами)

• a_{n+1} − a_n = [9 − 4(n+1)] − [9 − 4n] = 9 − 4n − 4 − 9 + 4n = −4.
• Значит каждый следующий член меньше предыдущего на 4.

3. Подтвердим явную формулу через формулу арифметической прогрессии

• Для арифметической прогрессии a_n = a_1 + (n − 1)d, где d — шаг.
• Здесь a_1 = 5, d = −4.
• Тогда a_n = 5 + (n − 1)(−4) = 5 − 4(n − 1) = 5 − 4n + 4 = 9 − 4n.
• Таким образом, данное выражение корректно описывает последовательность.

4. Примеры первых членов

• n = 1 → a_1 = 5
• n = 2 → a_2 = 9 − 8 = 1
• n = 3 → a_3 = 9 − 12 = −3
• n = 4 → a_4 = 9 − 16 = −7
• n = 5 → a_5 = 9 − 20 = −11

5. Свойства последовательности

• Тип: арифметическая прогрессия.
• Первый член: a_1 = 5.
• Шаг: d = −4 (последующие члены уменьшаются на 4).
• График функции a(n) = −4n + 9 — прямая с углом наклона −4.

6. Возможные дополнительные задачи (для закрепления)

• Найти n по заданному a_n: n = (9 − a_n)/4. Требуется, чтобы правость была целым числом.
• Найти сумму первых k членов: S_k = k/2 · (a_1 + a_k). Здесь a_k = 9 − 4k, поэтому S_k = k/2 · (5 + 9 − 4k) = k/2 · (14 − 4k) = k(7 − 2k). Например, S_3 = 3(7 − 6) = 3.

Если хочешь, могу привести конкретные примеры задач на поиск n по a_n или на сумму первых k членов.