Взлетев с южного полюса самолёт пролетел вдоль середина. Долетев до экватора, самолёт повернул под прямым углом и пролетел ещё такое же расстояние.Чему равен модуль перемещения…

Решение для задачи по физике (уровень 10 класс), цель: понять шаги.

Дано: самолёт взлетел с южного полюса, пролетел вдоль меридиана до экватора, затем на 90° повернул и пролетел ещё такое же расстояние. Нужно найти модуль перемещения в системе отсчёта, связанной с Землёй (то есть геометрическую дистанцию по прямой между начальной и конечной точками на фоне Земли).

1. Обозначения и геометрия

• Обозначим радиус Земли R, центр Земли — O.
• Южный полюс — S. Начальная точка на поверхности: S = (0, 0, -R) в стандартной системе координат, где ось z идёт к северному полюсу.
• Первый отрезок: от S до точки A на экваторе вдоль меридиана. Выбираем меридиан так, чтобы в точке A координаты были максимально простыми. Тогда A = (R, 0, 0). Длина SA = путь по меридиану от южного до экватора: длина кадра угла центрального = 90° = π/2 рад, значит SA = R·(π/2) = (πR)/2.
• Второй отрезок: в точке A разворот на 90° и полёт по экватору на такое же расстояние. Поскольку расстояние такое же, угол центральный тоже π/2, значит при движении вдоль экватора по длинной дуге longitude меняется на Δλ = π/2. Прилетает на точку B на экваторе: B имеет координаты (0, R, 0) (это экватор на longitude 90°). Итак, конечная точка: B = (0, R, 0).

2. Модуль вектора перемещения

• Вектор перемещения SB = B − S. S = (0, 0, −R), B = (0, R, 0) → SB = (0 − 0, R − 0, 0 − (−R)) = (0, R, R).
• Модуль: |SB| = sqrt(0^2 + R^2 + R^2) = sqrt(2) · R.

3. Альтернативная проверка (центральный угол)

• Радиусы OS и OB: OS = (0, 0, −R), OB = (0, R, 0). Их скалярное произведение равно 0, значит угол между ними 90°.
• Длина хорды между точками на поверхности при центральном угле θ равна d = 2R sin(θ/2). Для θ = 90° получаем d = 2R sin(45°) = 2R·(√2/2) = √2 R. Совпадает с above.

4. Численное приближение

• Радиус Земли R≈6371 км.
• |SB| ≈ √2 · 6371 ≈ 9009–9010 км.
• Точный вид выражения: |SB| = √2 · R.

Ответ: модуль перемещения самолёта относительно Земли равен √2·R (примерно 9.0×10^3 км, если R≈6371 км).