в треугольниках ABC и A1B1C1 отрезки AD и A1D1 биссектрисы, AB=A1B1 и AD=A1D1. докажите, что треугольник ABC=A1B1C1
Дано: в треугольниках ABC и A1B1C1 AD и A1D1 — биссектрисы углов при A и A1 соответственно. Также даны AB = A1B1, BD = B1D1 и AD = A1D1.
Цель: доказать, что треугольники ABC и A1B1C1 равны (конгруэнтны).
Пошагово:
Рассмотрим треугольники ABD и A1B1D1. По данным AB = A1B1, BD = B1D1 и AD = A1D1 они равны по признаку SSS (стороны AB, BD, AD соответствуют AB1, B1D1, A1D1).
Следовательно, соответствие вершин таково: A ↔ A1, B ↔ B1, D ↔ D1. Из этого равенства треугольников ABD и A1B1D1 получаем:
- ∠ABD = ∠A1B1D1,
- ∠BAD = ∠B1A1D1,
- ∠ADB = ∠A1D1B1.
Так как D лежит на BC, а D1 лежит на B1C1, то:
- ∠ABD — это угол между AB и BD, где BD лежит на BC, поэтому ∠ABD = ∠ABC;
- ∠A1B1D1 — это угол между A1B1 и B1D1, где B1D1 лежит на B1C1, поэтому ∠A1B1D1 = ∠A1B1C1. Таким образом из п.2 следует, что ∠ABC = ∠A1B1C1.
Также из п.2 имеем ∠BAD = ∠B1A1D1. Эти углы являются половинами углов A и A1 соответственно (AD и A1D1 — биссектрисы). Следовательно, ∠A = ∠A1.
В треугольниках ABC и A1B1C1 имеются две пары равных углов: ∠A = ∠A1 и ∠B = ∠B1 (п.3). Сторона AB равна A1B1 и лежит между этими двумя углами (это признак ASA: угол — сторона — угол между ними). Поэтому треугольники ABC и A1B1C1 равны.
Итак, ABC ≅ A1B1C1.
