Задача Задача №3346314
А
А
основание AD прямоугольник трапеции ABCD с прямым углом A равно 12 см AB=5 см,угол D=45° Найдите длины векторов BD,CD,AC
Задача: трапеция ABCD с основаниями AD и BC (AD = 12 см, AB = 5 см), угол A = 90°, угол D = 45°. Найти длины векторов BD, CD, AC.
Решение по шагам
- Установим систему координат
- Пусть A = (0, 0), так как AD — основание длины 12 см и лежит на оси x.
- Так как A угол прямой, AB перпендикулярно AD. Значит B находится выше A: B = (0, 5).
- Параллельность оснований AD и BC даёт, что BC параллельно AD, то y-координата C равна y B: C = (x, 5) для некоторого x.
- D есть на конце основания AD: D = (12, 0).
- Используем угол D = 45°
- Вектор DA (из D в A): DA = A − D = (−12, 0).
- Вектор DC (из D в C): DC = C − D = (x − 12, 5).
- Косинус угла между DA и DC: cos ∠D = (DA · DC) / (|DA| |DC|) = [−12(x − 12)] / (12 sqrt((x − 12)² + 25)) = −(x − 12) / sqrt((x − 12)² + 25).
- По условию ∠D = 45°, значит cos ∠D = cos 45° = √2/2. Отсюда: √2/2 = −(x − 12) / sqrt((x − 12)² + 25). Решив, получаем (x − 12)² = 25, то есть x − 12 = ±5.
- Так как C лежит слева от D (чтобы ∠D был 45°, а не 135°), выбираем x − 12 = −5 → x = 7.
- Следовательно, координаты C: C = (7, 5). Координаты уже дают BC = 7 и высоту AB = 5.
- Найдем длины векторов (то есть длин диагоналей/блоков)
- BD: вектор B → D: D − B = (12 − 0, 0 − 5) = (12, −5). Длина: |BD| = sqrt(12² + (−5)²) = sqrt(144 + 25) = sqrt(169) = 13 см. Вектор BD можно записать как BD = (12, −5).
- CD: вектор C → D: D − C = (12 − 7, 0 − 5) = (5, −5). Длина: |CD| = sqrt(5² + (−5)²) = sqrt(25 + 25) = sqrt(50) = 5√2 см. Вектор CD = (5, −5).
- AC: вектор A → C: C − A = (7 − 0, 5 − 0) = (7, 5). Длина: |AC| = sqrt(7² + 5²) = sqrt(49 + 25) = sqrt(74) см. Вектор AC = (7, 5).
Итоговые значения:
- |BD| = 13 см, BD = (12, −5)
- |CD| = 5√2 см, CD = (5, −5)
- |AC| = √74 см, AC = (7, 5)
При желании можно дать приближённые значения: |BD| = 13, |CD| ≈ 7.07, |AC| ≈ 8.60.
