К окружности с центром в точке O O провели две касательные C A CA и C B CB из точки C C так, что A A и B B — точки касания. Определите градусную меру большей дуги A B AB, если…

Решение по шагам.

Дано: круг с центром O и радиусом R. Из точки C проведены две касательные CA и CB к окружности, A и B — точки касания. Пусть длина касательной AC = t. По условию t = 3R.

1. Найдём OC (расстояние от точки C до центра окружности).

• В треугольнике OAC угол в A прямой (OA ⟂ CA), поэтому OAC — прямоугольный треугольник с гипотенузой OC.
• По теореме Пифагора: OC^2 = OA^2 + AC^2 = R^2 + (3R)^2 = 10R^2.
• Следовательно OC = R√10.

2. Найдём угол ∠ACO (угол при вершине C в треугольнике OAC).

• В этом треугольнике гипотенуза OC, прилежащий к углу ∠ACO равен CA = 3R, противолежащий — OA = R.
• Либо через синус: sin∠ACO = противолежащий/гипотенуза = OA/OC = R/(R√10) = 1/√10.
• Значит ∠ACO = arcsin(1/√10). Это же можно записать как ∠ACO = arccos(CA/OC) = arccos(3/√10).

3. Связь угла ∠ACB с ∠ACO.

• Так как CA = CB (из двух касательных из одной точки), OC является бисектором угла ∠ACB, соответственно ∠ACB = 2∠ACO.

4. Связь между ∠ACB и дугой AB.

• Внешний угол между касательными равен 180° минус дуга AB (мера дуги AB — мера при центральном угле ∠AOB, т. е. м(малая дуга AB) = ∠AOB).
• То есть ∠ACB = 180° − ∠AOB.
• Следовательно ∠AOB = 180° − ∠ACB.

5. Мера большой дуги AB.

• Мера большой дуги AB равна 360° − м(малая дуга AB) = 360° − ∠AOB.
• Подставляя ∠AOB из п.4 и ∠ACB = 2∠ACO, получаем: большая дуга AB = 360° − (180° − ∠ACB) = 180° + ∠ACB = 180° + 2∠ACO.
• Так как ∠ACO = arcsin(1/√10), получаем: большая дуга AB = 180° + 2 arcsin(1/√10).

6. Численно.

• arcsin(1/√10) ≈ 18.435°.
• Следовательно большая дуга AB ≈ 180° + 2·18.435° ≈ 180° + 36.87° ≈ 216.87°.

Ответ: большая дуга AB имеет градусную меру примерно 216,9°. Точнее: 180° + 2 arcsin(1/√10) ≈ 216.87°.