К окружности с центром в точке O O провели две касательные C A CA и C B CB из точки C C так, что A A и B B — точки касания. Определите градусную меру большей дуги A B AB, если известно, что длина отрезка касательной A C AC в 3 3 ​ раз больше радиуса данной окружности.

Решение по шагам. Дано: круг с центром O и радиусом R. Из точки C проведены две касательные CA и CB к окружности, A и B — точки касания. Пусть длина касательной AC = t. По условию t = 3R. 1) Найдём OC (расстояние от точки C до центра окружности). - В треугольнике OAC угол в A прямой (OA ⟂ CA), поэтому OAC — прямоугольный треугольник с гипотенузой OC. - По теореме Пифагора: OC^2 = OA^2 + AC^2 = R^2 + (3R)^2 = 10R^2. - Следовательно OC = R√10. 2) Найдём угол ∠ACO (угол при вершине C в треугольнике OAC). - В этом треугольнике гипотенуза OC, прилежащий к углу ∠ACO равен CA = 3R, противолежащий — OA = R. - Либо через синус: sin∠ACO = противолежащий/гипотенуза = OA/OC = R/(R√10) = 1/√10. - Значит ∠ACO = arcsin(1/√10). Это же можно записать как ∠ACO = arccos(CA/OC) = arccos(3/√10). 3) Связь угла ∠ACB с ∠ACO. - Так как CA = CB (из двух касательных из одной точки), OC является бисектором угла ∠ACB, соответственно ∠ACB = 2∠ACO. 4) Связь между ∠ACB и дугой AB. - Внешний угол между касательными равен 180° минус дуга AB (мера дуги AB — мера при центральном угле ∠AOB, т. е. м(малая дуга AB) = ∠AOB). - То есть ∠ACB = 180° − ∠AOB. - Следовательно ∠AOB = 180° − ∠ACB. 5) Мера большой дуги AB. - Мера большой дуги AB равна 360° − м(малая дуга AB) = 360° − ∠AOB. - Подставляя ∠AOB из п.4 и ∠ACB = 2∠ACO, получаем: большая дуга AB = 360° − (180° − ∠ACB) = 180° + ∠ACB = 180° + 2∠ACO. - Так как ∠ACO = arcsin(1/√10), получаем: большая дуга AB = 180° + 2 arcsin(1/√10). 6) Численно. - arcsin(1/√10) ≈ 18.435°. - Следовательно большая дуга AB ≈ 180° + 2·18.435° ≈ 180° + 36.87° ≈ 216.87°. Ответ: большая дуга AB имеет градусную меру примерно 216,9°. Точнее: 180° + 2 arcsin(1/√10) ≈ 216.87°.