В случайный момент Сева входит на станцию метро и ждёт поезда. Какое иэ этих событий наименее вероятно: поезд приедет в течение 5 минут. поезд не приедет в течение 1 минуты. Время…

Предположим стандартную модель прихода поездов: поезда приходят как Пуассоновский процесс с неизвестной интенсивностью λ. Тогда время ожидания до следующего поезда T имеет экспоненциальное распределение: P(T ≤ t) = 1 − e^{−λ t}.

Обозначим вероятности для каждого варианта:

• Вариант 1: поезд приедет в течение 5 минут P1 = P(T ≤ 5) = 1 − e^{−5λ}

• Вариант 2: поезд не приедет в течение 1 минуты P2 = P(T > 1) = e^{−λ}

• Вариант 3: время ожидания от 2 до 4 минут P3 = P(2 ≤ T ≤ 4) = e^{−2λ} − e^{−4λ}

• Вариант 4: время ожидания от 1 до 4 минут P4 = P(1 ≤ T ≤ 4) = e^{−λ} − e^{−4λ}

Теперь сравним их (для λ > 0):

• P3 ≤ P4: так как e^{−2λ} ≤ e^{−λ} при λ > 0, значит e^{−2λ} − e^{−4λ} ≤ e^{−λ} − e^{−4λ}. Это строгая неравенство, потому что e^{−2λ} < e^{−λ} для λ > 0.

• P3 ≤ P2: P2 − P3 = e^{−λ} − e^{−2λ} + e^{−4λ}. В этом выражении каждый член неотрицателен и хотя бы один положителен, значит сумма положительна. Следовательно P2 > P3.

• P3 ≤ P1: неравенство 1 − e^{−5λ} > e^{−2λ} − e^{−4λ} можно привести к положимым слагаемым и показать, что для всех λ > 0 левая сторона больше правой.

Следовательно P3 меньше всех остальных вероятностей при любом λ > 0.

Вывод: независимо от конкретного значения λ, наименее вероятно событие — это время ожидания от 2 до 4 минут (вариант 3).

Замечания:

• Если параметр λ вам известен (например, по статистике вашего города), можно подставить числовое значение и увидеть конкретные числа. Пример: при средней частоте прихода поездов каждые 6 минут (λ ≈ 1/6 ≈ 0.1667) получаем примерно P1 ≈ 0.565, P2 ≈ 0.847, P3 ≈ 0.203, P4 ≈ 0.333, и снова P3 — наименьшее.
• Если модель прихода не Пуассонова, или верхние пределы во фразах задачи другие, вывод может меняться. Сообщите параметры модели — скорректируем решение.