y²-x²/x²-2xy+y²

Задача: (y^2 - x^2) / (x^2 - 2xy + y^2)

Пошаговое решение и объяснение

1. Факторизация числителя и знаменателя

• числитель: y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)
• знаменатель: x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 = (y - x)^2

2. Применение сократения

• Выражение становится: [(y - x)(y + x)] / [(y - x)^2]
• Можно сократить общий множитель (y - x) (при условии x ≠ y)

3. Получение финального вида

• После сокращения остаётся (y + x) / (y - x)
• Это эквивалентно (x + y) / (y - x) и также эквивалентно -(x + y)/(x - y)

4. Примечания к домену

• Сокращение допустимо только при x ≠ y, потому что изначальное выражение имеет знаменатель (x - y)^2, который также равен 0 при x = y.
• При x = y исходное выражение неопределено (0/0).

Итог: упрощённое выражение равно (x + y) / (y - x) (или -(x + y)/(x - y)), с условием x ≠ y.

Пример проверки

• Пусть x = 1, y = 2:
  • числитель: y^2 - x^2 = 4 - 1 = 3
  • знаменатель: x^2 - 2xy + y^2 = 1 - 4 + 4 = 1
  • исходное значение: 3 / 1 = 3
  • упрощение: (x + y) / (y - x) = (3) / (1) = 3 Совпадает.