b³+27

Отлично. Разберём задачу b^3 + 27 как пример разложения на множители.

Цель и стиль

• Цель: Понять — подробно разберёмся с распаковкой выражения.
• Предмет/Класс: Алгебра, 8-й класс — используем понятные для школьников шаги и формулы.

Пошаговое решение

1. Признание суммы кубов

   • 27 можно записать как 3^3, поэтому выражение имеет вид b^3 + 3^3 — это сумма кубов.

2. Применение формулы суммы кубов

   • Общий вид: a^3 + c^3 = (a + c)(a^2 − a c + c^2).
   • В нашем случае a = b, c = 3.

3. Запись факторизации

   • b^3 + 27 = (b + 3)(b^2 − 3b + 9).

4. Проверка (опционально)

   • Раскроем скобки: (b + 3)(b^2 − 3b + 9) = b^3 − 3b^2 + 9b + 3b^2 − 9b + 27 = b^3 + 27. Проверка верна.

5. Дополнительно (для полного понимания)

   • Второй множитель b^2 − 3b + 9 имеет дискриминант D = (−3)^2 − 4·1·9 = 9 − 36 = −27 < 0, значит над множеством вещественных чисел этот квадратный фактор не раскладывается на линейные множители.
   • Корни квадратичного множителя над комплексными числами: b = [3 ± i√27]/2 = (3 ± 3i√3)/2.
   • Итак, над вещественными числами разложение (b + 3)(b^2 − 3b + 9) является полным факторизацией; над комплексными — можно разложить ещё в линейные множители.

Итого

• Разложение: b^3 + 27 = (b + 3)(b^2 − 3b + 9).

Если задача была именно решить уравнение b^3 + 27 = 0, то из факторизации получаем корни:

• b = −3 или бета-решения квадратного множителя: b = (3 ± i√27)/2. В реальных числах остаётся единственный корень b = −3.