-cosπ/5+isinπ/5 . комплексные числа , мат. анализ , решить

Задача: z = -cos(π/5) + i sin(π/5). Найдем представление в тригонометрической/эквивалентной форме.

Пошаговое решение:

1. Найдем модуль z.

• |z| = sqrt[(-cos(π/5))^2 + (sin(π/5))^2] = sqrt[cos^2(π/5) + sin^2(π/5)] = sqrt(1) = 1. Значит z лежит на единичной окружности.

2. Найдем аргумент z.

• Пусть z = cos θ + i sin θ. Тогда должны выполняться: cos θ = -cos(π/5), и sin θ = sin(π/5).
• Для α = π/5, cos α > 0 и sin α > 0. Эти значения соответствуют квадранту II, где cos отрицателен, sin положителен.
• Следовательно, θ = π − α = π − π/5 = 4π/5.

3. Запишем окончательно.

• z = cos(4π/5) + i sin(4π/5) = e^{i 4π/5} = cis(4π/5).

4. При желании можно привести к алгебраически более явному виду.

• cos(4π/5) = −cos(π/5) = −(√5 + 1)/4.
• sin(4π/5) = sin(π − π/5) = sin(π/5) = √((5 − √5)/8).
• Значит z = −(√5 + 1)/4 + i · √((5 − √5)/8).

Итог: -z = -cos(π/5) + i sin(π/5) = e^{i 4π/5} = cos(4π/5) + i sin(4π/5) = −(√5 + 1)/4 + i√((5 − √5)/8).