Задача: в остроугольном треугольнике ABC высоты BN и CK пересекаются в H. Найдите ∠ACB, если CH = AB.
Предпочтительный способ решения здесь — координатный. Пусть:
- A = (0, 0),
- C = (1, 0) на оси x,
- B = (x, y) с y > 0.
Тогда:
- N — основание BN на AC, значит N = (x, 0).
- AB — прямая через A и B. Наклон AB равен m = y/x (при x ≠ 0).
- CK — высота из C к AB, следовательно CK перпендикулярна AB. Наклон CK равен m_perp = −x/y. Уравнение CK: y = −(x/y)(X − 1), где X — переменная по оси x.
Точка пересечения H линии BN (X = x) и CK имеет координаты:
- H = (x, y_H), где y_H = −(x/y)(x − 1) = x(1 − x)/y.
Условия CH = AB дают равенство длин:
- CH^2 = (x − 1)^2 + y_H^2,
- AB^2 = x^2 + y^2.
Подставим y_H:
(CH)^2 = (x − 1)^2 + [x^2(1 − x)^2]/y^2 = AB^2 = x^2 + y^2.
Умножим на y^2 и сократим, получим:
(1 − x)^2 (x^2 + y^2) = y^2 (x^2 + y^2).
Так как x^2 + y^2 > 0, делим на него и получаем:
(1 − x)^2 = y^2.
Так как y > 0, получается y = 1 − x.
Теперь найдём угол ∠ACB. Векторы:
- CA = A − C = (−1, 0),
- CB = B − C = (x − 1, y) = (x − 1, 1 − x) = (x − 1)(1, −1).
Следовательно, наклон вектора CB: y/(x − 1) = (1 − x)/(x − 1) = −1. То есть прямой BC имеет наклон −1, т. е. угол BC с положительным направлением оси x равен 135°. Угол между BC и CA (направление CA — к левому вдоль оси x) равен 180° − 135° = 45°.
Итак, ∠ACB = 45°.
Ответ: ∠ACB = 45°.
