Самое простое, что можно отметить , так это равенство вертикальных углов 1 и 2. из прямоугольных треугольников BKH и CNH следует, что угол 3 = угол 4 (сумма углов прямоугольного…

Задача: в остроугольном треугольнике ABC высоты BN и CK пересекаются в H. Найдите ∠ACB, если CH = AB.

Предпочтительный способ решения здесь — координатный. Пусть:

• A = (0, 0),
• C = (1, 0) на оси x,
• B = (x, y) с y > 0.

Тогда:

• N — основание BN на AC, значит N = (x, 0).
• AB — прямая через A и B. Наклон AB равен m = y/x (при x ≠ 0).
• CK — высота из C к AB, следовательно CK перпендикулярна AB. Наклон CK равен m_perp = −x/y. Уравнение CK: y = −(x/y)(X − 1), где X — переменная по оси x.

Точка пересечения H линии BN (X = x) и CK имеет координаты:

• H = (x, y_H), где y_H = −(x/y)(x − 1) = x(1 − x)/y.

Условия CH = AB дают равенство длин:

• CH^2 = (x − 1)^2 + y_H^2,
• AB^2 = x^2 + y^2.

Подставим y_H: (CH)^2 = (x − 1)^2 + [x^2(1 − x)^2]/y^2 = AB^2 = x^2 + y^2.

Умножим на y^2 и сократим, получим: (1 − x)^2 (x^2 + y^2) = y^2 (x^2 + y^2).

Так как x^2 + y^2 > 0, делим на него и получаем: (1 − x)^2 = y^2.

Так как y > 0, получается y = 1 − x.

Теперь найдём угол ∠ACB. Векторы:

• CA = A − C = (−1, 0),
• CB = B − C = (x − 1, y) = (x − 1, 1 − x) = (x − 1)(1, −1).

Следовательно, наклон вектора CB: y/(x − 1) = (1 − x)/(x − 1) = −1. То есть прямой BC имеет наклон −1, т. е. угол BC с положительным направлением оси x равен 135°. Угол между BC и CA (направление CA — к левому вдоль оси x) равен 180° − 135° = 45°.

Итак, ∠ACB = 45°.

Ответ: ∠ACB = 45°.