найди значение выражения

Решение:

Дано выражение: (a^14 · (b^3)^3) / (a − b)^12 при a = 3 и b = √3.

1. Упростим числитель:

• (b^3)^3 = b^9 = (√3)^9 = 81√3.
• a^14 = 3^14. Значит числитель: 3^14 · 81√3 = 3^18 · √3.

2. Упростим знаменатель:

• a − b = 3 − √3 = √3(√3 − 1).
• (a − b)^12 = (√3)^12 · (√3 − 1)^12 = 3^6 · (√3 − 1)^12 = 729 · (√3 − 1)^12.

Итог: E = (3^18 · √3) / [3^6 · (√3 − 1)^12] = (3^12 · √3) / (√3 − 1)^12.

3. Применим тождество (√3 − 1)(√3 + 1) = 2: 1 / (√3 − 1)^12 = (√3 + 1)^12 / 2^12.

Тогда E = (3^12 / 2^12) · √3 · (√3 + 1)^12.

4. Найдём (√3 + 1)^12 через биномиальное разложение: (1 + √3)^12 = A + B√3, где A = 86 464, B = 49 920.

Следовательно, (√3 + 1)^12 = 86 464 + 49 920√3.

Тогда E = (3^12 / 2^12) · √3 · (86 464 + 49 920√3) = (3^12 / 2^12) · (86 464√3 + 3·49 920) = (531 441 / 4 096) · (149 760 + 86 464√3).

5. Численно:

• 531 441 / 4 096 ≈ 129.7476
• 149 760 + 86 464√3 ≈ 299 520.0410

Умножая, получаем примерно E ≈ 38 861 628.45.

Ответ: Именно в точном виде можно записать как E = (531441/4096) · (149760 + 86464√3), а численно E ≈ 3.88616×10^7 (≈ 38 861 628.45).