√141

Задача: √141

1. Упростимость радикала

• Разложим 141 на простые множители: 141 = 3 × 47.
• В радикале нет повторяющихся квадратных множителей (нет квадрата больше 1), поэтому √141 не можно упростить отдельно под корнем.
• Итог: в точном виде ответ просто √141 (простейшая форма), число иррациональное.

2. Приближённое значение

• Поскольку 11^2 = 121 и 12^2 = 144, √141 лежит между 11 и 12.
• Чтобы точнее прикинуть, можно воспользоваться методом Ньютона (для корня из 141):
  • Начальное приближение: x0 = 12.
  • x1 = (x0 + N/x0)/2 = (12 + 141/12)/2 = (12 + 11.75)/2 = 11.875.
  • x2 = (x1 + N/x1)/2. Здесь 141/11.875 ≈ 11.873684, поэтому x2 ≈ (11.875 + 11.873684)/2 ≈ 11.874342.
  • Это значение уже стабильно: √141 ≈ 11.87434 (пяти знаков после запятой).

3. Проверка (по желанию)

• 11.87434^2 примерно равно 141 (ошибка очень маленькая), что подтверждает близость.

Ответ

• Точное: √141 (нельзя упростить).
• Приближённо: √141 ≈ 11.87434.