Разберёмся с условиями (похоже, в тексте опечатка: вместо Z перед OBC имеется просто ∠OBC):
Дано: треугольник ABC эркутно острый, описана вокруг него окружность с центром O (окружность описанная, т.е. OC = OB = OA = R). Расстояние от O до прямой AB равно 6 см. ∠AOC = 90°, ∠OBC = 15°. Найти:
а) угол ABO; б) радиус окружности R.
Шаг 1. Определим угол ABC
∠AOC — центральный угол, который опирается на дугу AC. Инсценированный угол, который опирается на ту же дугу AC, равен половине центрального: ∠ABC = ∠AOC / 2 = 90° / 2 = 45°.
Шаг 2. Найдём угол A
В треугольнике OBC OB = OC = R, поэтому углы при B и C равны: ∠OBC = ∠OCB = 15°. Тогда угол BOC = 180° − 2·15° = 150°.
Центральный угол BOC равен удвоенному углу BAC (потому что он опирается на дугу BC, а угол BAC — вписанный на ту же дугу):
∠BOC = 2∠BAC = 2A. Следовательно 2A = 150°, так что A = 75°.
Шаг 3. Найдём угол C
Сумма углов треугольника ABC равна 180°:
A + B + C = 180° → 75° + 45° + C = 180° → C = 60°.
Шаг 4. Найдём радиус R по расстоянию от O до AB
Расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равняется d = R cos (угол при вершине противоположной этой стороне). Для стороны AB противоположен угол C, значит
d = R cos C = R cos 60° = R · 1/2.
Дано d = 6 см, значит R · 1/2 = 6 => R = 12 см.
Шаг 5. Найдём угол ABO
Угол ABO и угол OBC дают полный угол ABC:
∠ABO + ∠OBC = ∠ABC → ∠ABO = ∠ABC − ∠OBC = 45° − 15° = 30°.
Ответы:
а) угол ABO = 30°;
б) радиус окружности R = 12 см.
