Проведите прямую, обозначьте её буквой а и отметьте точки A и B, лежащие на этой прямой, и точки P, Q и R, не лежащие на ней. Опишите взаимное раположение точек A,B,P,Q,R и прямой a, используя символы
К решению задачи можно перейти так:
Задача говорит: провести прямую a, на ней отметить точки A и B, лежащие на прямой, и отметить точки P, Q, R, не лежащие на ней. Затем описать взаимное расположение всех точек и прямой с помощью символов.
Построение и символическое описание
- Пусть a — прямая.
- A ∈ a (A лежит на прямой a)
- B ∈ a (B лежит на прямой a)
- A ≠ B (разные точки на одной прямой)
- P ∉ a (P не лежит на прямой a)
- Q ∉ a (Q не лежит на прямой a)
- R ∉ a (R не лежит на прямой a)
- AB ⊆ a (отрезок AB целиком лежит на прямой a)
- a определяется точками A и B: a = AB
Разделение плоскости линией a
- Плоскость делится на две полуплоскости относительно прямой a:
- H+ = {X | orient(A,B,X) > 0}
- H− = {X | orient(A,B,X) < 0}
где orient(A,B,X) — ориентированная площадь (положительно, если X лежит с одной стороны от AB, отрицательно — с другой).
- Так как P, Q, R не лежат на a, для них выполняется P ∈ H+ ∪ H−, Q ∈ H+ ∪ H−, R ∈ H+ ∪ H−, при этом orient(A,B,P) ≠ 0, orient(A,B,Q) ≠ 0, orient(A,B,R) ≠ 0.
Итого, взаимное расположение можно записать так (основные факты):
- A ∈ a, B ∈ a, AB ⊆ a, A ≠ B
- P ∉ a, Q ∉ a, R ∉ a
- a — прямая, через A и B; P, Q, R лежат в одной из полуплоскостей H+ или H− и не лежат на a
- Можно дополнительно обозначить конкретные стороны: P ∈ H+, Q ∈ H−, R ∈ H+, например, если известно чьё-то положение, но без координат об этом говорить нельзя
Если нужно привести именно в виде символов без пояснений, можно оставить так:
- A ∈ a
- B ∈ a
- P ∉ a
- Q ∉ a
- R ∉ a
- AB ⊆ a
- a = AB
- H+ = {X | orient(A,B,X) > 0}
- H− = {X | orient(A,B,X) < 0}
- P ∈ H+ ∪ H−, Q ∈ H+ ∪ H−, R ∈ H+ ∪ H− (orient(A,B,P) ≠ 0, orient(A,B,Q) ≠ 0, orient(A,B,R) ≠ 0)
Если хотите, могу привести конкретный пример расположения P, Q, R (напр., P ∈ H+, Q ∈ H−, R ∈ H+).
