биссектриса Ad и медиана Bm треугольника Abc

Задача: В треугольнике ABC AD является биссектрисой угла A (D лежит на BC), BM — медиана к AC (M лежит на AC, AM = MC). Пусть P — точка пересечения AD и BM. Найдите отношение BP:PM.

Обозначения: обозначим стороны обычным образом:

• AB = c
• AC = b
• BC = a

Решение 1. Массы (быстрое и наглядное)

• Так как M — середина AC, на отрезке AC массы должны быть равны на концах: m_A = m_C. Пусть m_A = m_C = 1.
• AD — биссектриса при A, значит BD:DC = AB:AC = c:b. По правилу масс на отрезке BC имеем m_B : m_C = DC:BD = b:c. Так как m_C = 1, получаем m_B = b/c.
• Точка M на AC имеет масса m_M = m_A + m_C = 2 (сумма масс концов отрезка).
• Теперь рассматриваем отрезок BM, который соединяет точки B (масса m_B = b/c) и M (масса m_M = 2). Точка P на BM, лежащая на AD, является балансирующей точкой для этих двух масс, значит отношение деления BP:PM равно обратному отношению масс концов BM: BP:PM = m_M : m_B = 2 : (b/c) = 2c : b.
• В переводе на заданные обозначения треугольника: AB = c, AC = b. Значит BP:PM = 2 AB : AC.

Решение 2. Координатное (для проверки)

• Положим A = (0,0), C = (b,0), B = (x_B, y_B) с y_B > 0. Тогда AB = c, AC = b.
• Точка D на BC делит BC в отношении BD:DC = c:b, поэтому D = ( (cC + bB) / (b+c) ). Конкретно: D_x = (c b + b x_B)/(b+c), D_y = (b y_B)/(b+c).
• Точка M середина AC: M = (b/2, 0).
• Пусть P лежит на AD и BM: P = t D = B + s (M - B). По координатам получаем систему, из которой следует: t = (b+c)/(2c + b) и s = 2c/(2c + b).
• Так как на отрезке BM параметр s определяет отношение BP:PM как s:(1-s), имеем BP:PM = s : (1 - s) = [2c/(2c+b)] : [b/(2c+b)] = 2c : b. Это то же самое, что и BP:PM = 2 AB : AC.

Итог

• Пересечение AD и BM делит BM в отношении BP:PM = 2 AB : AC.
• Применимо к любому невырожденному треугольнику ABC.
• Примечание: если AB = AC, то BP:PM = 2:1.

Если хотите, могу привести конкрет числовой пример (например, AB = 4, AC = 6) и показать вычисления для точек D, M и P.