У=(х-5)²-2

Задача: y = (x - 5)^2 - 2

Цель: понять и разобрать подробно.

Пошаговое решение и пояснения

1. Узнаём форму функции

• Это квадратичная функция в форме вершины (парабола) y = a(x − h)^2 + k, где здесь a = 1, h = 5, k = -2.
• Значит парабола открывается вверх, её вершина (точка минимума) находится в (h, k) = (5, -2).

2. Перепишем в стандартную форму

• Раскроем квадрат: (x − 5)^2 = x^2 − 10x + 25.
• Вычитая 2: y = (x − 5)^2 − 2 = x^2 − 10x + 25 − 2 = x^2 − 10x + 23.
• Это стандартная форма y = ax^2 + bx + c с a = 1, b = −10, c = 23.

Пояснения: стандартная форма удобна для нахождения y-пересечений и поведения графика.

3. Вершина и ось симметрии

• Вершина параболы в форме y = a(x − h)^2 + k находится в точке (h, k). Здесь это (5, −2).
• Ось симметрии: x = h = 5.

4. Минимум и диапазон значений

• Так как a > 0, парабола открывается вверх, значит минимальное значение y равно k = −2.
• Диапазон значений: y ≥ −2.

5. Корни (нули функции)

• Найдём x, при которых y = 0: (x − 5)^2 − 2 = 0 → (x − 5)^2 = 2 → x − 5 = ±√2 → x = 5 ± √2.
• Приближённо: x ≈ 5 ± 1.414 → x ≈ 6.414 и x ≈ 3.586.

6. Примеры вычислений (для наглядности)

• y(5) = (5 − 5)^2 − 2 = 0 − 2 = −2 (значение на вершине)
• y(0) = (0 − 5)^2 − 2 = 25 − 2 = 23
• y(7) = (7 − 5)^2 − 2 = 4 − 2 = 2

7. Что можно сказать о графике

• Координаты вершины: (5, −2).
• Ось симметрии: x = 5.
• График параболы открывается вверх и достигает минимума в точке (5, −2).
• Нули: x = 5 − √2 и x = 5 + √2.
• Пересечение оси y: y(0) = 23, то есть точка (0, 23).

Если нужно, можно нарисовать график параболы или рассчитать значения y при любых x по формулам из пунктов 2 или 3.