В правильной четырехугольной призме ABCDA1A1B1C1D1 точки M, N и K делят ребра AA1, BB1, DD1 в отношении 1 : 5, 1 : 4 и 1 : 2 соответственно, считая от нижнего основания ABCD. а)  Докажите, что плоскость MNK делит ребро CC1 в отношении 11 : 19, считая от нижнего основания. б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы, если сторона основания призмы равна  а высота равна 30.

Решение заданной задачи будем проводить в стандартной системе координат для правильной четырехугольной призмы (основание ABCD — квадрат со стороной a, высота призмы h = 30). 1) Задаем координаты - A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0) - A1(0, 0, h), B1(a, 0, h), C1(a, a, h), D1(0, a, h), где h = 30 2) Координаты точек M, N, K - М находится на AA1 так, чтобы AM:MA1 = 1:5, считая от нижнего основания. Значит AM = h/6, следовательно M(0, 0, h/6) = (0, 0, 5). - N на BB1 так, чтобы BN:NB1 = 1:4, считая от нижнего основания. BN = h/5, значит N(a, 0, h/5) = (a, 0, 6). - K на DD1 так, чтобы DK:KD1 = 1:2, считая от нижнего основания. DK = h/3, значит K(0, a, h/3) = (0, a, 10). 3) Плоскость через M, N, K - Векторы MN = N − M = (a, 0, 6 − 5) = (a, 0, 1) - MK = K − M = (0 − 0, a − 0, 10 − 5) = (0, a, 5) - Вектор-нормаль к плоскости MNK: n = MN × MK n = (a, 0, 1) × (0, a, 5) = (-a, -5a, a^2) Уравнение плоскости в виде n · (X − M) = 0: (-a)(x − 0) + (-5a)(y − 0) + (a^2)(z − 5) = 0 откуда: -ax - 5ay + a^2 z - 5a^2 = 0 или z = (x + 5y + 5a) / a. 4) Пересечение плоскости MNK с ребром CC1 Ребро CC1: x = a, y = a, z свободно от 0 до h. Подставляя x = a, y = a в уравнение плоскости: z = (a + 5a + 5a) / a = 11. Значит точка пересечения лежит на CC1 в точке P = (a, a, 11). Так как C имеет z = 0, C1 имеет z = h = 30, то CP = 11, PC1 = 30 − 11 = 19. Соотношение деления CC1: 11 : 19 (от нижнего основания). Ответ к part (a): плоскость MNK пересекает ребро CC1 в точке, делящей CC1 в отношении 11:19 от нижнего основания. 5) Угол между плоскостью MNK и плоскостью основания Необходимо найти угол между плоскостью MNK и горизонтальной плоскостью z = 0. Из уравнения плоскости MNK: z = (x + 5y)/a + 5. Это плоскость вида z = p x + q y + c, где p = ∂z/∂x = 1/a, q = ∂z/∂y = 5/a. Угол между данной плоскостью и базовой плоскостью равен arctan √(p^2 + q^2): tan φ = sqrt(p^2 + q^2) = sqrt( (1/a^2) + (25/a^2) ) = sqrt(26) / a. Для высоты h = 30 и стороны основания a получаем: tan φ = sqrt(26) / a, следовательно φ = arctan( sqrt(26) / a ). Ответ к part (b): угол между плоскостью MNK и плоскостью основания равен arctan(√26 / a). (Если нужно численно, подставьте конкретное значение a.) Итого: - (a) точка пересечения CC1 имеет z = 11, т. е. деление 11:19 от нижнего основания. - (b) угол между плоскостью MNK и основанием задан формулой φ = arctan(√26 / a).