(−2)x²−4ax+a−1=0

Задача: -2 x^2 - 4 a x + a - 1 = 0 Рассматриваем это как квадратное уравнение по переменной x с параметром a. 1) Приведём уравнение к стандартной форме ax^2 + bx + c = 0 - Коэффициенты: A = 2, B = 4a, C = -a + 1 - Уравнение: 2 x^2 + 4 a x + (-a + 1) = 0 2) Найдём дискриминант и корни - Дискриминант D = B^2 - 4 A C = (4a)^2 - 4·2·(-a + 1) = 16a^2 + 8a - 8 = 8(2a^2 + a - 1) - Корни по формуле x = [-B ± sqrt(D)] / (2A): x = [-4a ± sqrt(16a^2 + 8a - 8)] / 4 3) Упрощение корней - Можно привести к более простой форме: sqrt(D) = sqrt(8(2a^2 + a - 1)) = 2 sqrt(2) sqrt(2a^2 + a - 1) - Тогда x = (-4a ± 2 sqrt(2) sqrt(2a^2 + a - 1)) / 4 = -a ± (sqrt(2)/2) sqrt(2a^2 + a - 1) Можно ещё записать как x = -a ± sqrt((2a^2 + a - 1)/2) Итого корни: - x1,2 = -a ± sqrt((2a^2 + a - 1)/2) 4) Условие существования вещественных корней - Действительные корни есть тогда, когда D ≥ 0, то есть 2a^2 + a - 1 ≥ 0 - Решение неравенства: a ≤ -1 или a ≥ 1/2 - Особые случаи, когда дискриминант нулевой: 2a^2 + a - 1 = 0 даёт a = -1 и a = 1/2 При этих значениях корень кратный: - при a = -1: x = -(-1) = 1 - при a = 1/2: x = -1/2 (один корень) 5) Примечание на случай, когда нужно найти a для заданного x Из исходного уравнения можно выразить a: - -2 x^2 - 4 a x + a - 1 = 0 - a(-4x + 1) = 2 x^2 + 1 - a = (2 x^2 + 1) / (1 - 4x), при 1 - 4x ≠ 0 (Если 1 - 4x = 0, то x = 1/4, при этом исходное уравнение даёт -9/8 ≠ 0, значит такого x не существует для любого a.) Ответ в общем виде: - Корни x = -a ± sqrt((2a^2 + a - 1)/2) - Реальные корни существуют при a ≤ -1 или a ≥ 1/2 (при этих значениях дискриминант неотрицателен). При a = -1 и a = 1/2 получаем двойной корень: x = 1 и x = -1/2 соответственно.