(−2)x²−4ax+a−1=0

Задача: -2 x^2 - 4 a x + a - 1 = 0

Рассматриваем это как квадратное уравнение по переменной x с параметром a.

1. Приведём уравнение к стандартной форме ax^2 + bx + c = 0

• Коэффициенты: A = 2, B = 4a, C = -a + 1
• Уравнение: 2 x^2 + 4 a x + (-a + 1) = 0

2. Найдём дискриминант и корни

• Дискриминант D = B^2 - 4 A C = (4a)^2 - 4·2·(-a + 1) = 16a^2 + 8a - 8 = 8(2a^2 + a - 1)
• Корни по формуле x = [-B ± sqrt(D)] / (2A): x = [-4a ± sqrt(16a^2 + 8a - 8)] / 4

3. Упрощение корней

• Можно привести к более простой форме: sqrt(D) = sqrt(8(2a^2 + a - 1)) = 2 sqrt(2) sqrt(2a^2 + a - 1)
• Тогда x = (-4a ± 2 sqrt(2) sqrt(2a^2 + a - 1)) / 4 = -a ± (sqrt(2)/2) sqrt(2a^2 + a - 1) Можно ещё записать как x = -a ± sqrt((2a^2 + a - 1)/2)

Итого корни:

• x1,2 = -a ± sqrt((2a^2 + a - 1)/2)

4. Условие существования вещественных корней

• Действительные корни есть тогда, когда D ≥ 0, то есть 2a^2 + a - 1 ≥ 0
• Решение неравенства: a ≤ -1 или a ≥ 1/2
• Особые случаи, когда дискриминант нулевой: 2a^2 + a - 1 = 0 даёт a = -1 и a = 1/2 При этих значениях корень кратный:
  • при a = -1: x = -(-1) = 1
  • при a = 1/2: x = -1/2 (один корень)

5. Примечание на случай, когда нужно найти a для заданного x Из исходного уравнения можно выразить a:

• -2 x^2 - 4 a x + a - 1 = 0
• a(-4x + 1) = 2 x^2 + 1
• a = (2 x^2 + 1) / (1 - 4x), при 1 - 4x ≠ 0 (Если 1 - 4x = 0, то x = 1/4, при этом исходное уравнение даёт -9/8 ≠ 0, значит такого x не существует для любого a.)

Ответ в общем виде:

• Корни x = -a ± sqrt((2a^2 + a - 1)/2)
• Реальные корни существуют при a ≤ -1 или a ≥ 1/2 (при этих значениях дискриминант неотрицателен). При a = -1 и a = 1/2 получаем двойной корень: x = 1 и x = -1/2 соответственно.