Дано выражение (я трактую задачу так, что есть сумма трех дробей):
E = 2mn/(m^3 + n^3) + 2m/(m^2 − n^2) − 1/(m − n)
Условие корректности: знаменатели не должны обнуляться, т.е. m ≠ n и m ≠ −n (и m^3 + n^3 ≠ 0, что в нашем случае почти сводится к этим же ограничениям).
Шаг 1. Разложим знаменатели по факторам.
- m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 − mn + n^2)
- m^2 − n^2 = (m − n)(m + n)
Тогда выражение превращается в:
E = 2mn/[(m + n)(m^2 − mn + n^2)] + 2m/[(m − n)(m + n)] − 1/(m − n)
Шаг 2. Соединим вторую и третью дроби.
Общий знаменатель для второй и третьей дробей: (m − n)(m + n).
2m/[(m − n)(m + n)] − 1/(m − n) = [2m − (m + n)] / [(m − n)(m + n)]
= (m − n) / [(m − n)(m + n)] = 1/(m + n)
Итак, E = 2mn/[(m + n)(m^2 − mn + n^2)] + 1/(m + n)
Шаг 3. Объединим две дроби под общим знаменателем (m + n)(m^2 − mn + n^2).
E = [2mn + (m^2 − mn + n^2)] / [(m + n)(m^2 − mn + n^2)]
= (m^2 + mn + n^2) / [(m + n)(m^2 − mn + n^2)]
Ответ:
E = (m^2 + mn + n^2) / [(m + n)(m^2 − mn + n^2)], при m ≠ n и m ≠ −n.
Если хочешь, могу привести ещё проверку на конкретных числах (например, m = 2, n = 1) или рассмотреть альтернативные способы хранения формулы.
