Примеры

Отлично! Ниже собраны примеры заданий по алгебре для 10 класса с подробными пошаговыми решениями. Это можно использовать как образец объяснений для понимания темы. Если хочешь разобрать конкретную задачу, пришли её текст или изображение — разберу по шагам. Пример 1. Решение квадратного уравнения через факторизацию Задача: x^2 - 5x + 6 = 0 Решение: - Разложим на множители: x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). - Корни уравнения получаются при строгом равенстве одного множителя нулю: x - 2 = 0 или x - 3 = 0. - Следовательно, x = 2 или x = 3. Ответ: x = 2, x = 3. Пояснение: факторизация удобна, когда коэффициенты дают очевидные целочисленные корни. Пример 2. Система линейных уравнений (метод сложения/вычитания) Задача: 2x + y = 7; x - y = 1 Решение: - Сложим обе уравнения, чтобы убрать y: (2x + y) + (x - y) = 7 + 1 → 3x = 8 → x = 8/3. - Подставим x в одно из уравнений, например во второе: (8/3) - y = 1 → -y = 1 - 8/3 = -5/3 → y = 5/3. Ответ: x = 8/3, y = 5/3. Пояснение: можно решить также методом подстановки; здесь выбран метод сложения. Пример 3. Неравенство квадратичной формы Задача: x^2 - 4x - 5 > 0 Решение: - Разложим на множители: x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1). - Найдём корни: x = -1 и x = 5. Тестируем интервалы по знакомлу: x < -1 → знак (+) ; -1 < x < 5 → знак (-) ; x > 5 → знак (+). - Неравенство строгое >0 выполняется в крайних интервалах: x < -1 или x > 5. Ответ: (-∞, -1) ∪ (5, ∞). Пояснение: знак произведения зависит от знаков множителей. Пример 4. Рациональное уравнение: упрощение и область допустимых значений Задача: упрощение и смотрим на ограничения: (3x^2 - 6x)/(x^2 - 9) Решение: - Разложим числитель и знаменатель на множители: 3x^2 - 6x = 3x(x - 2); x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3). - Упростить можно в виде: 3x(x - 2)/[(x - 3)(x + 3)], при условии, что знаменатель ≠ 0, то есть x ≠ 3 и x ≠ -3. Ответ в упрощённом виде: 3x(x - 2)/[(x - 3)(x + 3)], где x ≠ 3 и x ≠ -3. Пояснение: выносим общую факторизацию и фиксируем ограничение на параметры, чтобы выражение было определено. Пример 5. Радикальное уравнение Задача: sqrt(2x + 3) = x + 1 Решение: - Домены: под корнем 2x + 3 ≥ 0 → x ≥ -3/2; правая часть должна быть неотрицательной: x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1. - Следовательно, x ≥ -1. - Возьмём квадрат обеих сторон (при условии x ≥ -1 это безопасно): 2x + 3 = x^2 + 2x + 1. Приводим: x^2 - 2 = 0 → x = √2 или x = -√2. - Проверим условие домена: допускается только x ≥ -1, поэтому исключаем x = -√2 (~ -1.414). - Остаток: x = √2. Ответ: x = √2. Пояснение: после квадрирования важно проверить решение на исходное уравнение. Пример 6. Уравнение прямой через две точки Задача: Найти уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 2) и B(4, -5). Решение: - Найдём наклон (угловой коэффициент): m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-5 - 2) / (4 - 1) = -7/3. - Используем точку A(1, 2) в уравнении прямой: y - y1 = m(x - x1). y - 2 = (-7/3)(x - 1) → y = (-7/3)x + 7/3 + 2. 2 = 6/3, значит y = (-7/3)x + 13/3. - Можно привести к стандартному виду: 7x + 3y = 13. Ответ: уравнение прямой y = (-7/3)x + 13/3 (или 7x + 3y = 13). Пояснение: формула через точку и наклон — стандартный способ. Если хочешь, могу подобрать дополнительные примеры под конкретные темы (например, квадратные уравнения без факторизации, системы с коэффициентами, неравенства на модуль, экспоненциальные задачи и т. д.). Также можешь прислать задачу в виде изображения — разберу её по шагам.